「平面」について
タグ「平面」の検索結果
（105ページ目：全1904問中1041問～1050問を表示）
私立 星薬科大学 2013年 第3問$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[ ]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[][]},\ -\frac{[ ]}{[][]} \right)$である．
(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[ ]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[][]},\ -\frac{[ ]}{[][]} \right)$である．
私立 安田女子大学 2013年 第4問$1$から$6$の目が等確率で出るサイコロを投げ，出た目の数が偶数のとき定数$a_1$の値を$1$，奇数のとき$-1$と決める．定数$b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$の値についてもそれぞれ同じ方法で$1$または$-1$に決める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき，$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(1)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(2)$1$次関数$y=a_1x+b_1$と$y=a_2x+b_2$が$xy$平面上で共有点をもたないとき，$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
(3)$2$次関数$y=a_1(x-b_1)^2+c_1$と$y=a_2(x-b_2)^2+c_2$が$xy$平面上で共有点をもつ確率を求めよ．
私立 近畿大学 2013年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．
私立 杏林大学 2013年 第1問座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．
(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．
(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．
私立 大阪薬科大学 2013年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[ ]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[ ]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[ ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．
(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[ ]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[ ]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[ ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．
私立 大阪薬科大学 2013年 第3問次の問いに答えなさい．
$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．
(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[ ]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[ ]$，半径が$[ ]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[ ]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[ ]$の範囲にある．
$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．
(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[ ]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[ ]$，半径が$[ ]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[ ]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[ ]$の範囲にある．
私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第2問空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．
(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．
私立 近畿大学 2013年 第1問$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．
(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．
(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．