放物線$C:y=ax(x-b)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)放物線$C$の頂点の座標を$a$と$b$で表せ．
(2)放物線$C$の頂点の座標が$(4,\ -12)$のとき，$a$と$b$を求めよ．
(3)$a$と$b$が$(2)$で求めた値であるとき，$xy$平面上で放物線$C$と$x$軸によって囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$n$を$3$以上の自然数とする．平面上の点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$a_n$，外接する正$n$角形の面積を$b_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n$を求めよ．
(2)$b_n$を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}<\frac{4}{3}$となる最小の$n$を求めよ．


\mon[補足：] 円に内接する正$n$角形とは，円周を$n$等分して隣り合う点を線分で結んでできる正$n$角形をいう．円に外接する正$n$角形とは，円周を$n$等分した各点において円の接線をひき，隣り合う点における$2$つの接線の交点を頂点とする正$n$角形をいう．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の直線$y=x+1$を$\ell$とする．$\ell$に関して点$\mathrm{P}(s,\ t)$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \leqq 1$をみたすような点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示せよ．

$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C_1$とする．

(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=-x^2-2x+6$を$C_1$，曲線$y=3 |x|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$とする．時刻$t$における座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の位置が$x=\sin t$，$y=\sin 2t$で与えられている．

(1)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から点$\mathrm{P}$が最も遠方にあるとき，$2$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$間の距離は$[　]$であり，そのときの点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{v}=[　]$である．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡を$y=f(x)$と表すと，$f(x)=[　]$である．ただし$x$の範囲は$[　]$である．
(3)$(2)$で求めた軌跡と$x$軸とで囲まれてできる図形の面積は$[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)$a \neq 1$とする．
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & 1-a \\
1-b & b
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
p \\
1-p
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
p \\
1-p
\end{array} \right) \]
を満たす数$p$を求めよ．

(2)等式$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin \left( 2x-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}{ax-b}=1$が成り立つとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

(3)平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
1+a & 1 \\
4 & 3+3a
\end{array} \right)$が逆行列をもたないような$a$の値をすべて求めよ．
(2)$xy$平面上の曲線$y=\sqrt{x-1}+1$と直線$y=x-6$の交点の座標を求めよ．
(3)媒介変数表示
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=4 \cos^2 \theta \\
y=4 \cos \theta \sin \theta
\end{array} \right. \]
の表す円の方程式，および中心の座標と半径を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \cos \theta+\sin \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\cos^3 \theta \sin^2 \theta+\cos^2 \theta \sin^3 \theta$を求めよ．
(2)等式$(a+i)(a+1-i)=4+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$xy$平面上の$2$点$(1,\ 2)$，$(3,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に最も近づくとき，線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．