$xy$平面上に，円
\[ \begin{array}{l}
C_1:x^2-12x+y^2-4y+15=0 \\
C_2:x^2-4x+y^2-2y-15=0
\end{array} \]
があり，$C_1$と$C_2$との$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$および原点を通る円の方程式を求めよ．
(3)原点を中心とし，$C_1$に外接する円の半径を求めよ．

$xy$平面上に，円$K:x^2+y^2=1$と放物線$C:y=x^2-2$がある．$K$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta) (\pi<\theta<2\pi)$における$K$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\ell$の方程式を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$の最小値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

平面上で点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に引いた垂線と$\ell$との交点を，点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線の足という．

(1)点$\mathrm{P}(p,\ q)$から直線$ax+by+c=0$に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とする．点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$とする．$3$点$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$が一直線上にあるような点$\mathrm{P}(p,\ q)$の軌跡を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$xy$平面を考える．大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{P}$とする．もう一度，大小$2$個のさいころを投げて，大のさいころの目の数を$x$座標，小のさいころの目の数を$y$座標とする点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell:y=x$上にある確率は$[ア]$である．
(2)点$\mathrm{P}$が不等式$y>x$で表される領域にある確率は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がどちらも直線$\ell:y=x$上になく，かつ線分$\mathrm{PQ}$が$\ell$と共有点をもつ確率は$[エ]$である．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$である確率は$[オ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

$a$を正の実数とし，$xy$平面上に放物線$C:y=ax^2$とその上の点$\mathrm{P}(p,\ ap^2)$とが与えられている．ただし，$p>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする．
(1)放物線$C$と$x$軸および直線$x=p$で囲まれた部分の面積を$S_1(p)$とすると，$S_1(p)=[ア]$である．
(2)放物線$C$の$\mathrm{P}$における接線$\ell_1$の方程式は$y=[イ]$である．
(3)$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式は$y=[ウ]$であり，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エ]$である．
(4)点$\mathrm{R}(0,\ 1)$とする．$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$を$2$辺とする長方形の面積を$S_2(p)$とし，$f(p)=S_1(p)-S_2(p) (p>0)$とおく．関数$f(p)$が極値をもつような$a$の値の範囲は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle a=\frac{1}{10}$のとき，$f(p)$の極値を求めて，さらに$f(p)$のグラフを描け．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

$\displaystyle y=-x^2+3x+\frac{3}{4}$で表されるグラフを$C_1$とし，$y=|x-1|+|x-2|$で表されるグラフを$C_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の概形を同じ座標平面上に描け．
(2)不等式$\displaystyle -x^2+3x+\frac{3}{4}>|x-1|+|x-2|$を解け．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$xy$平面上の曲線$C_1:y=x \sin x$と，傾き$m$の直線$C_2:y=mx$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ a \sin a)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$が$0<x<\pi$の範囲で接する$m$の値を求めよ．
(3)$(2)$のとき，$C_1$を$0 \leqq x \leqq \pi$に制限した曲線と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$(3)$で得られた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．