「平面」について
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国立 京都大学 2016年 第1問$xy$平面内の領域
\[ x^2+y^2 \leqq 2,\quad |x| \leqq 1 \]
で，曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ．
\[ x^2+y^2 \leqq 2,\quad |x| \leqq 1 \]
で，曲線$C:y=x^3+x^2-x$の上側にある部分の面積を求めよ．
国立 京都大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
国立 東京海洋大学 2016年 第2問座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$，$\mathrm{P}(t,\ -t)$，$\mathrm{Q}(0,\ -t)$（ただし，$t>0$）をとる．$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．
(1)$\tan \angle \mathrm{APQ}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}$を考えることにより，$\tan \theta$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$\tan \angle \mathrm{APQ}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}$を考えることにより，$\tan \theta$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第3問座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．
国立 京都大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
国立 京都大学 2016年 第4問$xyz$空間において，平面$y=z$の中で
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ |x| \leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1,\quad 0 \leqq y \leqq \log a \]
で与えられる図形$D$を考える．ただし$a$は$1$より大きい定数とする．
この図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第4問座標平面上に曲線$C_1:y=x^3-x$と，$C_1$を$x$軸方向に$t$（ただし，$t>0$）だけ平行移動させた曲線$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は$2$つの共有点を持つという．
(1)$t$の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$t$の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第5問$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第1問座標平面上の$3$点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(-x,\ -y)$，$\mathrm{R}(1,\ 0)$が鋭角三角形をなすための$(x,\ y)$についての条件を求めよ．また，その条件をみたす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の範囲を図示せよ．
国立 東京大学 2016年 第3問座標平面上の$2$つの放物線
$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$
が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．
(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．
$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$
が点$(-1,\ 1)$で接している．ここで，$p$と$q$は実数である．さらに，$t$を正の実数とし，放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$，$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする．
(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする．ただし，$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める．$S(t)$を求めよ．
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ．