「平行」について
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公立 大阪府立大学 2015年 第3問$a$を正の定数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$（ただし$t \neq 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m$，$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．
(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．
公立 岐阜薬科大学 2015年 第4問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第1問座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第3問鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A$，$B$，$C$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，外心を$\mathrm{O}$とし，外接円の半径を$R$とする．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．
国立 京都大学 2014年 第3問座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
国立 北海道大学 2014年 第1問$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第2問座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 一橋大学 2014年 第3問円$C:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を通り$\ell$と平行な直線を$m$とする．直線$m$と円$C$の$(1,\ 0)$以外の共有点を$\mathrm{P}^\prime$とする．ただし，$m$が直線$x=1$のときは$\mathrm{P}^\prime$を$(1,\ 0)$とする．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．
円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．
(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．