「平行」について
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国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，半径を$1$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$(1)$における$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と平行で向きが同じとする．$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|:|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=s:1$とするとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を，それぞれ$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$において，さらに$\displaystyle s=\frac{1}{6}$であるとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第3問放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．
(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．
(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．
私立 上智大学 2015年 第2問座標平面上で$2$つのベクトル
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える．ただし，$0<p<1$，$q>1$とする．$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして，以下の問に答えよ．
(1)任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ．
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする．
条件：任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる．
(i) $p$および$q$の値を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，原点を始点として$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$を図示せよ．
(iii) 実数$a$に対して，
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく．任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える．ただし，$0<p<1$，$q>1$とする．$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして，以下の問に答えよ．
(1)任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ．
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする．
条件：任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる．
(i) $p$および$q$の値を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，原点を始点として$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$を図示せよ．
(iii) 実数$a$に対して，
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく．任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，
\[ a_n=\frac{[ア]}{[イ]} \left( \frac{[ウ]}{[エ]} \right)^n+\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
(2)$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，
\[ \mathrm{PH}^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．
(ii) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき最大値をとる．
(1)数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$3S_n=a_n+2n-1$を満たすならば，
\[ a_n=\frac{[ア]}{[イ]} \left( \frac{[ウ]}{[エ]} \right)^n+\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
(2)$t$を実数とする．座標空間において，点$(2t,\ 1,\ -t)$を通りベクトル$(-1,\ 2,\ 1)$と平行な直線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(0,\ 2,\ 0)$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$から$\ell$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき，
\[ \mathrm{PH}^2=\frac{[キ]}{[ク]}t^2+[ケ]t+\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．
(ii) 点$\mathrm{P}$を中心とする半径$2$の球面を$S$とする．$S$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，その$2$点間の距離は$\displaystyle t=\frac{[シ]}{[ス]}$のとき最大値をとる．
私立 東京理科大学 2015年 第3問放物線$C:y=ax^2-bx-c$は，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ -1 \right)$を通り，この点における$C$の接線の傾きは$-14$であり，その軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$であるという．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=\frac{[ウ][エ]}{[オ]} \]
である．$C$と$y$軸との交点における$C$の接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は
\[ y=-[カ]x-\frac{[キ][ク]}{[ケ]} \]
となり，原点を通り$\ell$に平行な直線と$C$で囲まれる部分の面積は
\[ \frac{[コ][サ][シ]}{[ス][セ]} \sqrt{[ソ]} \]
となる．
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=\frac{[ウ][エ]}{[オ]} \]
である．$C$と$y$軸との交点における$C$の接線を$\ell$とすると，$\ell$の方程式は
\[ y=-[カ]x-\frac{[キ][ク]}{[ケ]} \]
となり，原点を通り$\ell$に平行な直線と$C$で囲まれる部分の面積は
\[ \frac{[コ][サ][シ]}{[ス][セ]} \sqrt{[ソ]} \]
となる．
私立 東京理科大学 2015年 第4問$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．
(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．
(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．
(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．
(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第6問座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．
私立 東京理科大学 2015年 第1問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．
(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．
(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．
(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．
(1)座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．
(i) 楕円
\[ E:\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
は$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を焦点としてもつとする．このとき，$b=\sqrt{[ア]}$である．
(ii) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線と，$(ⅰ)$で定めた楕円$E$の交点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0) (x_0>0)$とすると，
\[ x_0=-\frac{[イ]}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]},\quad y_0=\frac{[キ]}{[ク]}+\frac{[ケ]}{[コ]} \sqrt{[サ]} \]
である．
(iii) $(ⅱ)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PB}+\mathrm{PC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$である．$\mathrm{QB}+\mathrm{QC}=[シ]-\sqrt{[ス]}$となるような点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡の方程式は
\[ \frac{(x-y)^2}{\alpha}+\frac{(x+y-\gamma)^2}{\beta}=1 \]
である．このとき，
\[ \alpha=\mkakko{セ}-\mkakko{ソ} \sqrt{\mkakko{タ}},\quad \beta=\mkakko{チ}-\mkakko{ツ} \sqrt{\mkakko{テ}},\quad \gamma=\mkakko{ト} \]
となる．
(2)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(2,\ 2)$，点$\mathrm{B}(k,\ 0)$を通り，軸が$y$軸に平行な放物線を$C$とする．ただし，$k>2$とする．
(i) 放物線$C$の方程式を$k$を用いて表すと，
\[ y=-\frac{[ナ]}{k-[ニ]}x^2+\frac{k}{k-[ヌ]}x \]
である．
(ii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表すと，
\[ S=\frac{k^{\mkakko{ネ}}}{[ノ](k-[ハ])^{\mkakko{ヒ}}} \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$S$の最小値は$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}$であり，そのときの$k$の値は$k=[ホ]$である．
(iii) 放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分を放物線$C$の軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$k$を用いて表すと，
\[ V=\frac{k^{\mkakko{マ}}}{[ミ][ム](k-[メ])^{\mkakko{モ}}} \pi \]
である．また，$k$を$k>2$の範囲で動かすとき，$V$の最小値は$\displaystyle \frac{[ヤ][ユ]}{[ヨ][ラ]}\pi$であり，そのときの$k$の値は$\displaystyle k=\frac{[リ]}{[ル]}$である．
私立 東北学院大学 2015年 第2問一辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$l=|\overrightarrow{\mathrm{EC}}|$とするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{EC}$が平行であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$l$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$l$を用いて表せ．
(3)$l$を求めよ．