座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

$n$を$4$以上の整数とする．正$n$角形の$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$\ell$とする．さらに，残りの$n-2$個の頂点から$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$m$とする．直線$\ell$と$m$が平行になる確率を求めよ．

$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t (t>0)$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=t^2 \cos t,\quad y=t^2 \sin t \]
で表されている．原点を$\mathrm{O}$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}$の速度ベクトルを$\overrightarrow{v}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta (t)$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \theta (t)$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{v}$が$y$軸に平行になるような$t (t>0)$のうち，最も小さいものを$t_1$，次に小さいものを$t_2$とする．このとき，不等式$t_2-t_1<\pi$を示せ．

頂点が点$\mathrm{A}(0,\ 4)$で，点$\mathrm{B}(2,\ 0)$を通る放物線を考える．次の問いに答えよ．

(1)この放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
(2)この放物線上にあり，$x$座標が$2a (a>0)$である点を$\mathrm{C}$とする．この放物線と$x$軸との交点で，点$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{C}$における放物線の接線$\ell_1$と点$\mathrm{D}$における放物線の接線$\ell_2$との交点$\mathrm{E}$の座標を，$a$を使って表せ．
(3)この放物線と直線$\ell_2$，および点$\mathrm{E}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球がある．下の概略図のように，$y$軸の負の方向から仰角$\displaystyle \frac{\pi}{6}$で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル$(0,\ \sqrt{3},\ -1)$に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．
(2)$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3)$z \geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

$a$と$b$を正の実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=a$，$\mathrm{CX}_1=b$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$，$a$，$b$を用いて表せ．
(3)$b=8a$のとき，$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)数列$\{l_n\}$の一般項を求めよ．