「平行」について
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私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．
ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．
ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．
私立 学習院大学 2016年 第3問曲線$C:y=x^3-x$上に，原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする．
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第2問座標平面上における放物線$C:y=x^2-2x+1$と直線$\ell:y=x$の$2$つの交点のうち，$x$座標の値が小さい方の点を$\mathrm{A}(p,\ p)$とする．直線$\ell$上の点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{A}$の間にある点$\mathrm{D}(q,\ q)$を通り$y$軸と平行な直線と放物線$C$との交点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{E}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線$C$とのもう$1$つの交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{EF}$の長さを$q$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$q$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が最大となる$q$の値を求めよ．
(5)$q$が$(4)$で求めた値であるときの三角形$\mathrm{DEF}$の面積を求めよ．
(1)$p$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{EF}$の長さを$q$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$q$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が最大となる$q$の値を求めよ．
(5)$q$が$(4)$で求めた値であるときの三角形$\mathrm{DEF}$の面積を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ケ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
(1)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta=[ア]$，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[イ]$である．
(2)高さが$1$の円錐を，頂点から$a$の距離で底面に平行な面で上下$2$つに切断する．体積が$2$等分されるのは，$a=[ウ]$のときである．
(3)$\displaystyle \sum_{k=5}^{20}(2k-7)$の値は$[エ]$である．
(4)多項式$(x-1)(x-2)(x-3)$を$x-4$で割った余りを$A$，$(x-2)(x-3)(x-4)$を$x-1$で割った余りを$B$，$(x-3)(x-4)(x-1)$を$x-2$で割った余りを$C$とすると，$A+B+C=[オ]$である．
(5)定積分$\displaystyle \int_{-2}^5 |x^2-9| \, dx$の値は$[カ]$である．
(6)$5$人の大人と$3$人の子どもが，円形のテーブルの周りに座る．子ども同士が隣り合わない座り方は全部で$[キ]$通りある．ただし，回転して一致するものは同じ座り方とみなす．
(7)半透明のガラス板がある．光がガラス板$1$枚を通ると，その強さが$8$割に減る．光の強さが当初の$1$割未満となるのは，ガラス板を$[ク]$枚以上重ねたときである．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$を用いよ．
(8)$1$周$300 \, \mathrm{m}$の池の周りを，$\mathrm{A}$は徒歩で，$\mathrm{B}$は自転車で，同じ地点から同時にスタートし，同じ方向に回る．自転車が徒歩の$5$倍の速さで進むとき，$\mathrm{B}$が池を$1$周したあと，$\mathrm{A}$を初めて追い抜く地点は，スタート地点から進行方向に$[ケ] \, \mathrm{m}$進んだ地点である．
私立 明治大学 2016年 第4問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
点$(4,\ 2,\ 7)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 4)$に平行な直線を$\ell$，点$(2,\ 12,\ -5)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,\ 3,\ -3)$に平行な直線を$m$とし，直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$，直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が直線$\ell$および直線$m$と垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$[ ]$である．
点$(4,\ 2,\ 7)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 4)$に平行な直線を$\ell$，点$(2,\ 12,\ -5)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,\ 3,\ -3)$に平行な直線を$m$とし，直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$，直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が直線$\ell$および直線$m$と垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[ ]$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$[ ]$である．
私立 明治大学 2016年 第3問関数$f(x)=x^4-4x^3-2x^2+14x+13$について考える．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(1)$a,\ b,\ c$が$a<b<c$を満たす定数で，関数$y=f(x)$は$x=a$と$x=c$のとき極小値をとり，$x=b$のとき極大値をとる．このとき，$a^2+b^2+c^2=[ア][イ]$である．
(2)直線$y=2x+4$を$\ell$とし，直線$\ell$に平行な直線$y=2x+p$を$m$とする．ただし，$p$は定数である．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$は異なる$2$点で接している．さらに，曲線$y=f(x)$と直線$m$が異なる$3$個の共有点をもつとき，$p=[ウ][エ]$である．
また，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$が$\alpha<\beta<\gamma$を満たす定数で，曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の異なる$2$つの接点の$x$座標を$\alpha,\ \gamma$とし，曲線$y=f(x)$と直線$m$の接点の$x$座標を$\beta$とする．直線$m$の$\alpha \leqq x \leqq \beta$の部分と曲線$y=f(x)$，および直線$x=\alpha$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
私立 福岡大学 2016年 第1問$2$直線$x+2y=1$，$(a+1)x+3ay=9$が平行になるように定数$a$の値を定めると$a=[ ]$である．このとき，$2$直線と直線$y=x$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$[ ]$である．
私立 神奈川大学 2016年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)方程式$x^2+y=63$を満たす自然数の組$(x,\ y)$は$[ ]$組ある．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-2,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(2,\ -1)$がある．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$が$\overrightarrow{c}$と平行となるのは$t=[ ]$のときである．
(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．不等式$\sqrt{3} \sin x+\cos x>\sqrt{3}$を解くと，$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(4)$S=1+2r^2+3r^4+4r^6+\cdots +10r^{18}$とする．$r=\sqrt{2}$のとき，$S$の値を求めると$[ ]$である．
(5)赤，青，黄のカードが$2$枚ずつある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人に$2$枚ずつ配るとき，どの人の$2$枚についてもその色が異なる確率は$[ ]$である．
(6)複素数平面で，方程式
\[ z \overline{z}-iz+i \overline{z}-9=0 \]
で定まる円の中心を表す複素数は$[ ]$であり，半径は$[ ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
公立 岐阜薬科大学 2016年 第4問複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．
(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．
(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．
公立 釧路公立大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)次の指数方程式を解け．
\[ 3^{x+1}+3^{2-x}=12 \]
(2)$f(x)=x^3-4x^2-2x+5$とする．以下の問いに答えよ．
(i) 曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを，$a$を用いて表せ．
(ii) 曲線$y=f(x)$上の$2$点$(a,\ f(a))$，$(a+1,\ f(a+1))$における接線が平行になるとき，$a$の値を求めよ．
(1)次の指数方程式を解け．
\[ 3^{x+1}+3^{2-x}=12 \]
(2)$f(x)=x^3-4x^2-2x+5$とする．以下の問いに答えよ．
(i) 曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを，$a$を用いて表せ．
(ii) 曲線$y=f(x)$上の$2$点$(a,\ f(a))$，$(a+1,\ f(a+1))$における接線が平行になるとき，$a$の値を求めよ．