「平行」について
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国立 長崎大学 2016年 第4問関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値および$|\overrightarrow{\mathrm{AP|}}$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第2問平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおき，
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a|}=4,\quad |\overrightarrow{b|}=5,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC|}}=6 \]
であるとする．また，辺$\mathrm{BC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{F}$とし（ただし，$0<s<1$），線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{DF}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$s$で表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の$2$本の対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{b}$と平行であるとき，$s$の値を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第3問原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし，直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする．$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．
(3)$k=2$のとき，$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする．$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．
(3)$k=2$のとき，$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．
国立 福井大学 2016年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$3$辺の長さが$\mathrm{OP}=5$，$\mathrm{OQ}=6$，$\mathrm{PQ}=7$である$\triangle \mathrm{OPQ}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{OI}$と辺$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおく．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
(1)面積比$\triangle \mathrm{IOP}:\triangle \mathrm{IOQ}:\triangle \mathrm{IPQ}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表せ．
(4)点$\mathrm{R}$を，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\overrightarrow{p}$となるようにとり，$\triangle \mathrm{OQR}$の内心を$\mathrm{J}$とする．このとき，$k \overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$と$\overrightarrow{p}$が平行となる$k$の値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$，正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．
(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．
私立 同志社大学 2016年 第2問平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．