「平行」について
タグ「平行」の検索結果
（25ページ目：全255問中241問～250問を表示）
国立 滋賀大学 2010年 第4問放物線$C_1:y=x^2,\ C_2:y=x^2-4x+4$がある．$0<a<2$のとき，$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．$C_1$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形のうち$\ell$より上側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(2)$1<a<2$のとき，$C_1$と$\ell$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．
(1)$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(2)$1<a<2$のとき，$C_1$と$\ell$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．
国立 京都教育大学 2010年 第4問中心が$(0,\ 0,\ 1)$，半径が1の球面が，$yz$平面に平行で点$(a,\ 0,\ 0) \ (0<a<1)$を通る平面と交わってできる図形を$C$とする．これに対して，次の問に答えよ．
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．
国立 浜松医科大学 2010年 第3問座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る．$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする．次に，$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし，$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする．以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第2問$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$がある．$\pi_1$は$3$点$(1,\ 1,\ 7)$，$(2,\ 1,\ 5)$，$(1,\ 2,\ 5)$を通り，$\pi_2$は$3$点$(2,\ 1,\ 5)$，$(2,\ 3,\ 4)$，$(6,\ 0,\ 5)$を通る．
(1)平面$\pi_2$上の点$(x,\ y,\ z)$は関係式$x+[ソ]y+[タ]z-[$4$][チ]=0$を満たす．
(2)$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$の交線は点$\mathrm{A}(-2,\ [ツ],\ [テ])$を通る．
(3)$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_1$に平行なベクトル$\overrightarrow{a}$は$([ト],\ [ナ],\ -2)$で，$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_2$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}$は$([$1$][ニ],\ 10,\ -[ヌ])$である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とすると，$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$に接する半径$15$の球面の中心$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} \quad (s>0,\ t>0) \]
を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$([$2$][ネ],\ [$1$][ノ],\ -22)$である．
(1)平面$\pi_2$上の点$(x,\ y,\ z)$は関係式$x+[ソ]y+[タ]z-[$4$][チ]=0$を満たす．
(2)$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$の交線は点$\mathrm{A}(-2,\ [ツ],\ [テ])$を通る．
(3)$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_1$に平行なベクトル$\overrightarrow{a}$は$([ト],\ [ナ],\ -2)$で，$2$平面の交線に垂直で平面$\pi_2$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}$は$([$1$][ニ],\ 10,\ -[ヌ])$である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とすると，$2$平面$\pi_1$，$\pi_2$に接する半径$15$の球面の中心$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{b} \quad (s>0,\ t>0) \]
を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$([$2$][ネ],\ [$1$][ノ],\ -22)$である．
私立 北海学園大学 2010年 第2問$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第2問$xy$平面上に直線
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
\[ (5k+3)x-(3k+5)y-10k+10=0 \]
がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)$k=1$と$k=2$のときの直線の方程式をそれぞれ求め，さらに，これら$2$直線の交点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)$k=0$のときの直線に垂直で，かつ点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に平行な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
私立 自治医科大学 2010年 第25問$2$つの放物線$C_1:y=-2x^2+10x,\ C_2:y=x^2-2x$について考える．$C_1$と$C_2$の相異なる$2$つの交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$に平行で$C_1$に接する直線を$L$とする．$L$と$C_1$と$C_2$で囲まれる面積を$S$としたとき，$\displaystyle \left( \frac{S}{32}+1 \right)^2$の値を求めよ．
私立 南山大学 2010年 第2問$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
(1)$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．
(2)$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$C_2$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．
私立 北海道医療大学 2010年 第3問関数$f(x)=x^2-1$と$g(x)=2a-f(x)$がある．ただし，$a$は定数とする．
(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．
\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．
(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．
\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．
私立 神奈川大学 2010年 第3問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，頂点が$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{7}{2} \right)$で，点$(3,\ 1)$を通る．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$4$となるものの方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線に平行で点$(2,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=f(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)直線$\ell$と放物線$y=f(x)$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$4$となるものの方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線に平行で点$(2,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=f(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)直線$\ell$と放物線$y=f(x)$によって囲まれた部分の面積を求めよ．