「平行」について
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国立 岩手大学 2010年 第4問2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
国立 岩手大学 2010年 第4問$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．
（図は省略）
国立 熊本大学 2010年 第2問曲線$C_1:y=x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線が曲線$C_2:y=x^2-4$と交わる点をB，Cとする．ただし，Bの$x$座標はCの$x$座標より小さいとする．以下の問いに答えよ．
(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)線分BCの中点MおよびCの座標を$a$を用いて表せ．
(2)Mを通り$y$軸に平行な直線，線分MCおよび曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第4問平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 福井大学 2010年 第5問$k$を定数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2+4x+k,\quad g(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$g(x)$の極値をすべて求めよ．
(3)$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線$\ell$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,\ g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$\ell,\ m$の方程式をそれぞれ求めよ．
\[ f(x)=x^2+4x+k,\quad g(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$g(x)$の極値をすべて求めよ．
(3)$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線$\ell$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,\ g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$\ell,\ m$の方程式をそれぞれ求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 鳥取大学 2010年 第1問平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 防衛医科大学校 2010年 第3問座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第1問平面上に，点O，Aを$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1$であるようにとる．Oを中心にAを反時計回りに，$\displaystyle \frac{\pi}{6}$回転させた位置にある点をB，$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた位置にある点をCとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表す．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
(1)$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\triangle$OABの面積と$\triangle$OBCの面積をそれぞれ求めよ．
(3)直線ACと直線OBとの交点をDとする．また，Bを通って直線ACに平行な直線と，直線OAとの交点をEとする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}},\ \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と表す．このとき，$|\overrightarrow{d}|$と$|\overrightarrow{e}|$をそれぞれ求めよ．
(4)次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e}+t\overrightarrow{c},\quad (0 \leqq s,\ 0 \leqq t,\ 1 \leqq s+t \leqq 2) \]
国立 滋賀大学 2010年 第2問$\mathrm{AD} \para \mathrm{BC},\ \mathrm{BC}=2 \mathrm{AD}$である四角形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{PQ}$が平行であることを示せ．
(2)3点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{D}$が一直線上にあることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad \overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$と$\mathrm{PQ}$が平行であることを示せ．
(2)3点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q},\ \mathrm{D}$が一直線上にあることを示せ．