座標平面上の直線$y=2x+1$を直線$\ell$とし，直線$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．第$1$象限内における直線$\ell$上の任意の点を中心とし$\mathrm{A}$を通る円$\mathrm{O}$を考える．直線$\ell$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なるもう一方の交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sin \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)直線$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行であることを証明せよ．
(3)円$\mathrm{O}$が$x$軸と接するとき，接点の$x$座標を求めよ．

台形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行であり，$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{BC}=3,\quad \mathrm{DA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BE}=1,\quad \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{3}{5} \]
とする．

(1)$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[$26$]}{[$27$]}$，$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{[$28$]}{[$29$]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$30$]}{[$31$]}$であり，三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$である．

(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AEB}=\frac{[$34$]}{[$35$]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{DAC}=\frac{[$36$]}{[$37$]}$である．

$2$つの放物線$\displaystyle C_1:y=x^2,\ C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{9}{2}$がある．$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell_1$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\ell_1$の式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．この$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な直線$\ell_2$がある．$C_1$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S_3$が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$\ell_2$の式を求めよ．

$y=x(x-2a) (a>0)$で表される放物線$C$がある．$C$の頂点$\mathrm{P}$を通る$y$軸に平行な直線と，$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$C$上を原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$まで動く点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{R}$を通り$x$軸に平行な直線と線分$\mathrm{PQ}$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)線分$\mathrm{OQ}$，線分$\mathrm{PQ}$および$C$で囲まれた領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OR}$と$C$で囲まれた領域の面積と，線分$\mathrm{RH}$，線分$\mathrm{PH}$および$C$で囲まれた領域の面積との和を$T$とするとき，$T$を最小にする$\mathrm{R}$の座標と$T$の最小値を$a$を用いて表せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-6 & 6
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{array} \right)$について，$AX=XB$，$X^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ．
(2)$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって，$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}>\frac{\pi}{2}$を満たしているものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{AOC}=\theta$として，以下の問いに答えよ．

(i) $\cos \theta$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(ii) 点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし，垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$を求めよ．

空間に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ 0,\ \frac{3}{2} \right)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$がある．また，線分$\mathrm{BP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s$と$t$は実数であり，$0<u<1$である．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

放物線$y = x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

曲線$y = x^3 +4x^2 -x$と曲線$y = x^2 +3$の3つの交点を$(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)$とおく．ただし$x_1 < x_2 < x_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．

平面上に一辺の長さが1の正方形$D$および$D$と交わる直線がある．この直線を軸に$D$を回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．

(1)$D$と同じ平面上の直線$\ell$は$D$のどの辺にも平行でないものとする．軸とする直線は$\ell$と平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線は$D$と唯1点で交わることを示せ．
(2)$D$と交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．