「平行」について
タグ「平行」の検索結果
（20ページ目：全255問中191問～200問を表示）
私立 学習院大学 2012年 第2問台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$は平行，$\angle \mathrm{ABC}$は直角，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
私立 中央大学 2012年 第2問平面上に$2$本の平行な直線の組が$n$組ある．異なる組の直線は平行ではなく，どの$3$本の直線も$1$点で交わることはないとする．これら$2n$本の直線の交点の総数を$a_n$，平面がこれら$2n$本の直線によって分けられている部分の個数を$b_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．
(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．
私立 広島工業大学 2012年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．
(1)不等式$ax+3>2x$を解け．ただし，$a$は定数とする．
(2)$\displaystyle a=\frac{2}{\sqrt{3}+1},\ b=\frac{2}{\sqrt{3}-1}$とするとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(3)$2$本の平行な直線上にそれぞれ$3$個と$4$個の点がある．この中の$3$点を選んでできる三角形の個数を求めよ．
私立 福岡大学 2012年 第3問$a>0$とし，放物線$C:y=x^2-ax$と$x$軸との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の共有点を$\mathrm{P}$とする．また，$m>0$とし，直線$\ell:y=mx$と放物線$C$との共有点で，原点$\mathrm{O}$でない方の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の接線が直線$\ell$と平行であるとする．そのとき点$\mathrm{R}$と直線$\ell$との距離$d$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$m=a$のとき，放物線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$は，三角形$\mathrm{ORQ}$の面積の何倍になるか求めよ．
(1)放物線$C$上の点$\mathrm{R}$における$C$の接線が直線$\ell$と平行であるとする．そのとき点$\mathrm{R}$と直線$\ell$との距離$d$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$m=a$のとき，放物線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$は，三角形$\mathrm{ORQ}$の面積の何倍になるか求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第4問曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x^2}$の$x>0$の部分を$C_1$とする．また，原点と$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p^2} \right)$を通る放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$において同一の直線に接するとき，次の問に答えよ．
(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)$C_2$の式を$p$を用いて表せ．
(2)$C_2$と$x$軸の交点のうち，原点でない方を$\mathrm{Q}$とおく．点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線と，$C_1,\ C_2$で囲まれた領域の面積を求めよ．
私立 日本女子大学 2012年 第3問点$\mathrm{H}$を中心，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える．ただし，線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする．右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である．左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する．この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$，母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる．左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$，$\mathrm{AE}=3$のとき，以下の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）
私立 産業医科大学 2012年 第2問座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
私立 九州産業大学 2012年 第2問円$\mathrm{O}$に内接する台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が平行である．対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{ABD}={60}^\circ$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積は$[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(3)台形$\mathrm{ABCD}$の高さは$[オ] \sqrt{[カ]}$である．
(4)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コサ]}}{[シ]}$である．
(1)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積は$[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(3)台形$\mathrm{ABCD}$の高さは$[オ] \sqrt{[カ]}$である．
(4)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(5)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コサ]}}{[シ]}$である．