「平行」について
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国立 埼玉大学 2012年 第1問実数$t$に対し，$xy$平面において$2$つの位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} = \left(\strut \frac{t}{2}+1,\ \frac{t}{2} \right),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \left(\strut t,\ \frac{t^2}{2} \right) \]
を考える．
(1)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行である．$\rfloor$
(2)次の条件を満たす$t$が存在する実数$s$の範囲を求めよ．\\
\quad $\lceil$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は，ベクトル$(1,\ s)$に平行であり，かつ$t>1$である．
国立 神戸大学 2012年 第1問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
国立 神戸大学 2012年 第1問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$と直線$\ell$があり，$\mathrm{A}$と$\ell$の距離と$\mathrm{B}$と$\ell$の距離の和が$1$であるという．以下の問に答えよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
(1)$\ell$は$y$軸と平行でないことを示せ．
(2)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$\ell$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$\ell$と原点との距離を求めよ．
国立 佐賀大学 2012年 第5問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．ただし，$a \geqq b$および$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_1$とする．また点$\mathrm{A}_1$を通って辺$\mathrm{AB}$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{B}_1$とする．次に点$\mathrm{B}_1$から辺$\mathrm{OA}_1$に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}_2$とし，点$\mathrm{A}_2$を通って辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$に平行な直線と，辺$\mathrm{OB}_1$との交点を$\mathrm{B}_2$とする．以下，この操作を続け，三角形の列
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は，$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき，$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ．
\[ \triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1,\ \triangle \mathrm{OA}_2 \mathrm{B}_2,\ \cdots,\ \triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n \]
をとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$は，$\triangle \mathrm{OAB}$に相似であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n}{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{B}_{n-1}}$を$a,\ b,\ \theta$の式で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_k \mathrm{B}_k$の面積を$S_k$とする．$a=2,\ b=1,\ \theta=30^\circ$のとき，$S_1+S_2+\cdots + S_n$を$n$の式で表せ．
国立 九州工業大学 2012年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}_0(1,\ 0)$がある．ある$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1(p,\ p)$，$\mathrm{Q}_1(p,\ 0)$を定め，さらに，自然数$n$について点$\mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{Q}_{n+1}$を次のように定める．
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．
（図は省略）
\begin{itemize}
点$\mathrm{Q}_n$を通り直線$\mathrm{Q}_0 \mathrm{P}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{OP}_0$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．
点$\mathrm{P}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を$\mathrm{Q}_{n+1}$とする．
\end{itemize}
また，$\triangle \mathrm{Q}_{n-1} \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$S_1$を$p$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$S_n$を$p,\ n$を用いて表せ．
(4)$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$S_n$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\displaystyle \lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．
（図は省略）
国立 香川大学 2012年 第4問定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
国立 香川大学 2012年 第4問定数$a>0$に対して，$f(x)=ax^3-6ax^2+9ax+1$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)点A，B，Cの座標をそれぞれ$(-1,\ f(-1))$，$(4,\ f(t))$，$(t,\ f(t))$とする．$-1<t<3$のとき，点Cにおける曲線$y=f(x)$の接線と，線分ABとが平行になるような$t$が1つだけ存在することを示せ．
国立 群馬大学 2012年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第5問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．