座標平面において，放物線$C:y=-x^2+9$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，$0<a<3$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とする．

(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

座標平面上の点$(0,\ 1)$を通り$x$軸に平行な直線$\ell$と，点$\mathrm{A}(0,\ 4)$を考える．平面上の動点$\mathrm{P}(x,\ y)$が

$\mathrm{AP}:$（点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離）$=2:1$

を満たすとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示しなさい．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ 11,\ 2y)$，$\overrightarrow{b}=(x-4,\ 2,\ y-6)$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．
(2)方程式$\log_2(x^2+4)-\log_2x=2$を解くと，$x=[　]$である．また，不等式$\log_2(x^2+4)-\log_2x \geqq \log_25$を解くと，$[　]$である．

座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．

$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[　]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[][]},\ -\frac{[　]}{[][]} \right)$である．

$a$を正の実数とする．関数$y=f(x)=2x^3-6a^2x$について，次の問いに答えよ．

(1)$a=1$のとき，関数$y=f(x)$上の点$(2,\ 4)$における接線の方程式を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが原点に関して点対称であることを示せ．
(3)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が，再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．

$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．

このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}

$a>1$とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは変曲点をただ$1$つもつ．この変曲点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた変曲点を通り，$y$軸に平行な直線を$\ell$とする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to \infty} S$を求めよ．

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AB}$と平行で点$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{AD}=t$とし，$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$を直線$\ell$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．

(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．