座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において線分$\mathrm{OA}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{[アイ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)線分$\mathrm{CD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とおくと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$は$3$辺の長さの比が$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}:\mathrm{AB}=5:4:7$で，外接円の半径が$\displaystyle \frac{35 \sqrt{6}}{12}$とする．このとき$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{[サシ]}{[ス]}$であり，また三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[セソ] \sqrt{[タ]}$である．
(4)$\alpha,\ \beta$は実数で，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{Q}$が同一直線上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$が平行である．ただし点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{C}$と異なるとするとき$\displaystyle \alpha=\frac{[チ]}{[ツ]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[テ]}{[ト]}$である．

座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．

座標空間に原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 0)$，点$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 0)$があり，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り$z$軸に平行な直線をとる．その直線上において$z$座標が正となる点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となるような点$\mathrm{Q}$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$のとき，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{E}$を通り辺$\mathrm{AD}$に平行に直線を引いたときの辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．このとき，次のベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=[ヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=[ネ]$

$x>0$に対して，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t^2} \right)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$(t,\ 0)$を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PHQ}$の面積$S_1$を求めよ．
(3)曲線$C$，線分$\mathrm{PQ}$および$\mathrm{Q}$を通る$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．

$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．

平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．