「平行」について
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国立 秋田大学 2014年 第2問$0$以上の整数$n$に対して，
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山口大学 2014年 第2問座標平面において，方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．
(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$，$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$，$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と，$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(5)$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$，$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2014年 第1問座標平面上に動点$\mathrm{P}$が初め原点$(0,\ 0)$にある．$1$つのさいころをくり返し投げて，その出た目に応じて，以下のように$\mathrm{P}$を動かしていく．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
(i) さいころの出た目が$1,\ 3,\ 5$であれば，$\mathrm{P}$は$x$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(ii) 出た目が$2,\ 4$であれば，$\mathrm{P}$は$y$軸に平行に正の向きに$1$動く．
(iii) 出た目が$6$であれば，$\mathrm{P}$は直線$y=x$に関して対称な点に動く．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを$2$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(1,\ 0)$に動く確率を求めよ．
(2)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が点$(2,\ 3)$に動く確率を求めよ．
(3)さいころを$5$回投げたときに$\mathrm{P}$が直線$x=4$上の点に動く確率を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第3問座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第5問座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第2問座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．