平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{CE}$と線分$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，比$\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}$を求めよ．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を底面とする四角錐$\mathrm{OABCD}$を考える．線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{B}^\prime$，線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}^\prime$とし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$を通る平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{D}^\prime$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD^\prime}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の何倍か．
(3)三角錐$\mathrm{AOB}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は，三角錐$\mathrm{AOBD}$の体積の何倍か．
(4)四角錐$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{C}^\prime \mathrm{D}^\prime$の体積は，四角錐$\mathrm{OABCD}$の体積の何倍か．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3a_n}{2n \cdot a_n+3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められている．$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，$b_1=[ア]$，$\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{[イ]}{[ウ]}n$が成り立つ．$\displaystyle a_{10}=\frac{[エ]}{[オカ]}$であり，$\displaystyle a_n<\frac{1}{50}$をみたす最小の$n$は$[キク]$である．
(2)平行四辺形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．直線$\mathrm{OE}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，三角形$\mathrm{CEF}$の面積は平行四辺形$\mathrm{OABC}$の面積の$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツテ]}$倍である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$，$\angle \mathrm{A}=60^\circ$であるものとする．また，辺$\mathrm{AB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{AD}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$の値を求めよ．
(3)辺$\mathrm{BC}$（ただし，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む）上の点$\mathrm{G}$を考える．このとき，点$\mathrm{G}$を辺$\mathrm{BC}$上のどこにとっても内積$\overrightarrow{\mathrm{EF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EG}}$の値が変わらないことを示せ．また，その値を求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする．

\mon[(D)] $A$の成分$a$，$b$，$c$，$d$は整数である．また，平面上の4点$(0,\ 0)$，$(a,\ b)$，$(a+c,\ b+d)$，$(c,\ d)$は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．

$B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ．
(2)$c=0$ならば，$A$に$B$，$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより，4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ．
(3)$|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする．$BA$，$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は，それを$\biggl( \begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array} \biggr)$とすると
\[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \]
を満たすことを示せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は平行四辺形ではないとし，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．

(1)線分$\mathrm{PR}$の中点$\mathrm{K}$と線分$\mathrm{QS}$の中点$\mathrm{L}$は一致することを示せ．
(2)線分$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{M}$と線分$\mathrm{BD}$の中点$\mathrm{N}$を結ぶ直線は点$\mathrm{K}$を通ることを示せ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．