タグ「平行六面体」の検索結果

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愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第2問
$t$を実数とする.座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$,$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある.図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき,$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする.また,平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(図は省略)

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2015年 第1問
$t$を実数とする.座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$,$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある.図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において,点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき,$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする.また,平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
(図は省略)

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で,その$z$成分が正となるものを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき,$t$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき,$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.
東京電機大学 私立 東京電機大学 2015年 第2問
\begin{mawarikomi}{45mm}{

(図は省略)
}
図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において,辺$\mathrm{DG}$を$x:1-x (0<x<1)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{G}$を通る平面と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{P}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$とおく.このとき,次の問に答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$,$x$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AG}}$とおくとき,$k$,$s$,$t$をそれぞれ$x$で表せ.
(3)$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABG}$の重心と一致するとき,$x$の値を求めよ.

\end{mawarikomi}
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2015年 第13問
平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において,$\triangle \mathrm{BDE}$の重心を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする.このとき,点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MF}$をどのように内分するか求めよ.ここで,平行六面体とは$6$つの平行四辺形からなる立体であり,$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$は向かい合う面の対応を表している.
岐阜薬科大学 公立 岐阜薬科大学 2015年 第4問
\begin{mawarikomi}{50mm}{
(図は省略)
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という.平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり,
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している.ただし,$l+m+n+1 \neq 0$とする.次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある.$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき,$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ.
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.また,点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし,かつ,線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$の値を求めよ.

\end{mawarikomi}
東北大学 国立 東北大学 2014年 第2問
下図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり,$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 0)$,$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ \sqrt{6})$とする.辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める.

(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ.
(2)$3$点$\mathrm{E}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ.
(3)$3$点$\mathrm{E}$,$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ.
(図は省略)
宮崎大学 国立 宮崎大学 2014年 第3問
下図の平行六面体において,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし,$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする.さらに,四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(図は省略)

(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し,$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ.
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2014年 第2問
下図の平行六面体において,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし,$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする.さらに,四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(図は省略)

(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し,$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ.
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ.
宮崎大学 国立 宮崎大学 2014年 第2問
下図の平行六面体において,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし,$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする.さらに,四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする.このとき,次の各問に答えよ.
(図は省略)

(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し,$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ.
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2011年 第2問
平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において,辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$,辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$,辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする.また,辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$,$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$,$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2)3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき,$k$の値を求めよ.
(3)3点$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ.

(図は省略)
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「平行六面体」とは・・・

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