「平行六面体」について
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国立 愛媛大学 2015年 第2問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
国立 愛媛大学 2015年 第1問$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
（図は省略）
(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．
私立 東京電機大学 2015年 第2問\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{DG}$を$x:1-x (0<x<1)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{G}$を通る平面と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AG}}$とおくとき，$k$，$s$，$t$をそれぞれ$x$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABG}$の重心と一致するとき，$x$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{DG}$を$x:1-x (0<x<1)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{G}$を通る平面と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$x$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AG}}$とおくとき，$k$，$s$，$t$をそれぞれ$x$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABG}$の重心と一致するとき，$x$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
公立 奈良県立医科大学 2015年 第13問平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，$\triangle \mathrm{BDE}$の重心を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{MF}$をどのように内分するか求めよ．ここで，平行六面体とは$6$つの平行四辺形からなる立体であり，$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$は向かい合う面の対応を表している．
公立 岐阜薬科大学 2015年 第4問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している．ただし，$l+m+n+1 \neq 0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある．$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき，$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ．
(4)四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき，$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ．また，点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし，かつ，線分$\mathrm{AG}$上にあるとき，$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 東北大学 2014年 第2問下図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ \sqrt{6})$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める．
(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．
（図は省略）
国立 宮崎大学 2014年 第3問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 熊本大学 2011年 第2問平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
（図は省略）