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私立 津田塾大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
私立 大同大学 2012年 第1問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[ ]+[ ] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[ ]}{[ ]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[ ]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(1)$x=\sqrt{14}-\sqrt{7}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{14}+\sqrt{7}-\sqrt{2}$のとき，
$(x+y)^3=[][][] \sqrt{14}$，$xy=[ ]+[ ] \sqrt{14}$，$x^3+y^3=[][] \sqrt{14}-[][][]$である．
(2)$a$を実数とする．$2$次方程式$x^2+5ax+3a+4=0$が正の解$\alpha$と負の解$\beta$をもつとき，$a$の範囲は$\displaystyle a<-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，$\alpha-\beta$のとる値の範囲は$\displaystyle \alpha-\beta>\frac{[][]}{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{AC}=8$とするとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[ ]}{[ ]}$である．辺$\mathrm{BC}$上の点を中心とする半径$r$の円が$2$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$に接するとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[][]}{[ ]} r$であり，$\displaystyle r=\frac{[ ] \sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
私立 大同大学 2012年 第2問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[ ]$，$b=-[ ]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[ ] \sqrt{[][]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，
$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[ ]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[ ]}{[][]}$，
$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[ ]-[ ] \sqrt{[][][]}}{72}$である．
(1)円$c_1:x^2+y^2-8x+6y-72=0$の中心を$\mathrm{A}(a,\ b)$，半径を$r$とするとき，$a=[ ]$，$b=-[ ]$，$r=\sqrt{[][]}$である．
円$c_2:x^2+y^2-2x+4y-35=0$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=\sqrt{[][]}$であり，円$c_1$が円$c_2$の接線から切りとる弦の長さの最大値は$[ ] \sqrt{[][]}$である．
(2)$\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{3}{8}$のとき，
$\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=\frac{[ ]}{[][]}$，$\displaystyle \cos (\alpha-\beta)=\frac{[ ]}{[][]}$，
$\displaystyle \cos 2\alpha=\frac{[ ]-[ ] \sqrt{[][][]}}{72}$である．
私立 大同大学 2012年 第6問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[ ]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[ ]$または$b=[ ]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．
(1)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$から異なる$4$個を並べてできる$4$桁の整数は$[][][]$個ある．このうち$2013$より小さい整数は$[][]$個あり，$2013$より大きく$4532$より小さい整数は$[][][]$個ある．
(2)$a,\ b$は実数とする．
$a=[ ]$は，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要条件である．
$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，$(a-1)^2+(a-2)^2(b-3)^2=0$であるための必要十分条件である．
$a=[ ]$または$b=[ ]$であることは，
\[ (a-1)^2(a-2)^2(b-3)^2(b-5)^2+(a-2)^2(a-4)^2(b-3)^2(b-7)^2=0 \]
であるための十分条件である．
(3)$a=[ ]$かつ$b=[ ]$であることは，
\[ (a-4)^2(b-5)^2(b-8)^2+(a-4)^2(a-6)^2+(a-5)^2(a-7)^2(b-7)^2=0 \]
であるための必要十分条件である．
国立 熊本大学 2011年 第2問$2$つの整数の平方の和で表される整数の集合を$A$とする．以下の問いに答えよ．
(1)集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a,\ b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a,\ b$はともに$3$で割り切れることを示せ．
(2)$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．
(1)集合$A$のある要素$a^2+b^2$（$a,\ b$は整数）が$3$で割り切れるとき，$a,\ b$はともに$3$で割り切れることを示せ．
(2)$x$を整数とする．$9x$が集合$A$の要素であるとき，$x$は集合$A$の要素であることを示せ．