自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．

(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．



以下の問題では，$n$は偶数とする．


\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$3$を引いても$12$を足しても平方数となる自然数をすべて求めなさい．
(2)$3^n$を$5$で割ると$1$余るという性質を持つ最小の自然数$n$は何か答えなさい．
(3)$179x+767y=1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．

下の図は自然数の平方数を三角形状に順に並べたものである．各平方数については，第$n$段目の第$m$項と呼ぶことにする．例えば，第$4$段目の第$2$項と呼ばれる平方数は$64$である．このとき，次の各問に答えよ．

\begin{tabular}{ccccccccccc}
& & & & & $1$ & & & & & \\
& & & & $4$ & & $9$ & & & & \\
& & & $16$ & & $25$ & & $36$ & & & \\
& & $49$ & & $64$ & & $81$ & & $100$ & & \\
& $121$ & & $144$ & & $169$ & & $196$ & & $225$ & \\
$\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$ & & $\cdots$
\end{tabular}


(1)第$n$段目の第$1$項を$n$を用いて表せ．
(2)第$n$段目の各項の総和を$n$を用いて表せ．

ある整数の$2$乗で表される数を平方数という．$3$桁の平方数すべての和を求めると$[　]$である．また，$3$桁の平方数のうち，$3$で割ると$1$余る数すべての和を求めると$[　]$である．

$a,\ b,\ c$を自然数とし，$1 \leqq a \leqq 10$，$c \leqq b \leqq a$とする．次のプログラムは$a^2+b^2+c^2$が平方数となる場合を求めるものである．解答欄に適切なものを入れよ．

$\mathrm{100 FOR A=1 TO 10}$
$\mathrm{110 FOR B=1 TO [(201)][(202)]}$
$\mathrm{120 FOR C=1 TO B}$
$\mathrm{130 FOR I=1 TO 2 * [(203)][(204)]}$
$\mathrm{140 LET S=A * A+B * B+C * C-I * I}$
$\mathrm{150 IF S=<0 THEN GOTO [(205)][(206)]}$
$\mathrm{160 NEXT [(207)][(208)]}$
$\mathrm{170 IF S<0 THEN GOTO [(209)][(210)]}$
$\mathrm{180 PRINT A; "**2+" ;B; "**2+" ;C; "**2=" ;I; "**2"}$
$\mathrm{190 NEXT [(211)][(212)]}$
$\mathrm{200 NEXT B}$
$\mathrm{210 NEXT A}$
$\mathrm{220 END}$

次の問に答えよ．

(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．

$45$を引いても$44$を足しても平方数となるような自然数を求めよ．ただし，平方数とはある自然数$n$によって$n^2$と表される数のことである．