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国立 浜松医科大学 2016年 第1問自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第2問$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第2問$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
国立 長崎大学 2014年 第2問$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$，奇数の平方の和を$b_n$とする．すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である．なお，$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ．
(2)$a_n$と$b_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき，$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ．
私立 藤田保健衛生大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{CA}=b$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．また辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=b$となるようにとり，$\angle \mathrm{ADB}=\alpha$とする．
(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$，$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると，$(x,\ y)=[$5$]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である．従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに，$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり，さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる．
(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$，$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると，$(x,\ y)=[$5$]$である．
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である．従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに，$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり，さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる．
私立 吉備国際大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$x^2-2xy+3x-4y+2$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$のとき$x^2+2x-4$の値を求めよ．
(3)$10$個の製品の中に$3$個の不良品が含まれている中から$3$個の製品を同時に選び出すとき，不良品が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ．
(4)連続する$7$個の自然数で小さい方の$4$つの数の平方の和が，大きい方の$3$つの数の平方の和に等しくなるとき，$7$つの自然数をすべて求めよ．
(5)不等式$x^2+4x-2<0$を解け．
(1)$x^2-2xy+3x-4y+2$を因数分解せよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$のとき$x^2+2x-4$の値を求めよ．
(3)$10$個の製品の中に$3$個の不良品が含まれている中から$3$個の製品を同時に選び出すとき，不良品が少なくとも$1$個含まれる確率を求めよ．
(4)連続する$7$個の自然数で小さい方の$4$つの数の平方の和が，大きい方の$3$つの数の平方の和に等しくなるとき，$7$つの自然数をすべて求めよ．
(5)不等式$x^2+4x-2<0$を解け．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$，$[イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．
(1)実数$a,\ b$について，命題「$ab=0$ならば$b=0$である」の逆は$[ア]$であり，裏は$[イ]$である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ]$，$\displaystyle x^4+\frac{1}{x^4}=[エ]$と，いずれも整数で表せる．
(3)すべての実数$x$について$2$次不等式$x^2-2(k+1)x+2k^2>0$が成立するような実数$k$の範囲は$[オ]$である．
(4)$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれたカードをそれぞれ$2$枚用意する．この$8$枚のカードから$6$枚を同時に引き，その中で最大の数を$X$とするとき，$X$の期待値は$[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sqrt{3} \cos \theta+\sin \theta$の最大値は$[キ]$であり，最小値は$[ク]$である．
(6)方程式$\log_{\frac{1}{2}}x^2+\log_2 x^{\frac{9}{2}}+\log_4 x^{-1}=4$を満たす$x$の値は$[ケ]$である．
(7)等差数列をなす$3$つの数がある．これらの和が$1$で，平方の和が$\displaystyle \frac{11}{24}$であるとき，$3$つの数は$[コ]$である．
(8)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ x)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$について，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$が垂直であるときの$x$の値をすべて求めると，$[サ]$である．
私立 大同大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[ ] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．
(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[ ] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[ ]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [ ] \sqrt{[ ]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([ ] a+[ ] b)(a-[ ] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[ ]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[ ]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[ ] \sqrt{[][]}}{[ ]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．
私立 大同大学 2013年 第2問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[ ] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[ ]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[ ]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[ ] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[ ]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[ ]}{[ ]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[ ]}$である．
私立 大同大学 2013年 第6問次の$[ ]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[ ]$または$[ ]$（ただし$[ ]<[ ]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[ ]$または$[][]$である．
(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[ ]$または$[ ]$（ただし$[ ]<[ ]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[ ]$または$[][]$である．