「平均」について
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国立 鳥取大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．
(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」
(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．
(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」
(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第7問袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．
(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．
国立 小樽商科大学 2010年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
国立 鹿児島大学 2010年 第8問数字1が書かれたカードが1枚，数字2が書かれたカードが2枚，数字3が書かれたカードが1枚の合計4枚のカードがある．この4枚のカードを母集団とし，カードに書かれている数字を変量とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを1個ずつ取り出すことを復元抽出といい，取り出したものをもとに戻さずに続けて抽出することを非復元抽出という．
(1)母平均$m$と母標準偏差$\sigma$を求めよ．
(2)この母集団から，非復元抽出によって，大きさ2の無作為標本を抽出し，そのカードの数字を取り出した順に$Y_1$，$Y_2$とする．標本平均$\displaystyle \overline{Y}=\frac{Y_1+Y_2}{2}$の確率分布，期待値$E(\overline{Y})$，標準偏差$\sigma(\overline{Y})$を求めよ．
(3)この母集団から，復元抽出によって，大きさ200の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X}$とする．このとき，標本平均$\overline{X}$が近似的に正規分布に従うとみなすことができるとして，$P(\overline{X}<a)=0.05$を満たす定数$a$を求めよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，$P(Z>1.65)=0.05$とする．
(1)母平均$m$と母標準偏差$\sigma$を求めよ．
(2)この母集団から，非復元抽出によって，大きさ2の無作為標本を抽出し，そのカードの数字を取り出した順に$Y_1$，$Y_2$とする．標本平均$\displaystyle \overline{Y}=\frac{Y_1+Y_2}{2}$の確率分布，期待値$E(\overline{Y})$，標準偏差$\sigma(\overline{Y})$を求めよ．
(3)この母集団から，復元抽出によって，大きさ200の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X}$とする．このとき，標本平均$\overline{X}$が近似的に正規分布に従うとみなすことができるとして，$P(\overline{X}<a)=0.05$を満たす定数$a$を求めよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，$P(Z>1.65)=0.05$とする．