「平均値の定理」について
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私立 獨協医科大学 2015年 第5問$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
国立 九州工業大学 2013年 第2問関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
私立 藤田保健衛生大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．
(i) $m^\prime(x)=[ ]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[ ]$に近づく．
(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[ ]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[ ]$となる．
(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．
(i) $m^\prime(x)=[ ]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[ ]$に近づく．
(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[ ]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[ ]$となる．
国立 山口大学 2010年 第2問次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．