$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人の紳士から，それぞれの帽子を$1$つずつ受けとり，それらを再び$1$人に$1$つずつ配る．帽子は必ずしも元の持ち主に戻されるわけではない．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．

帽子を配る方法は全部で$[ア]$通りある．そのうち，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとるのは$[イ]$通り，$\mathrm{B}$が自分の帽子を受けとるのは同じく$[イ]$通り，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分の帽子を受けとるのは$[ウ]$通りである．したがって，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとらず，かつ$\mathrm{B}$も自分の帽子を受けとらない場合は$[エ]$通りである．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか．

$10$人ずつの男女に関する条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{E})$を考える．

\mon[$(\mathrm{A})$] 帽子をかぶっている人がいるならばその人は男性であり，かつ，帽子をかぶっていて腕時計をしていない人がいる．
\mon[$(\mathrm{B})$] 帽子をかぶっている人がいるならばその人は男性であり，かつ，腕時計をしていて帽子をかぶっていない人がいる．
\mon[$(\mathrm{C})$] 女性ならば帽子をかぶっておらず，かつ，腕時計をしている人がいるならばその人は帽子をかぶっている．
\mon[$(\mathrm{D})$] 帽子をかぶっている男性がおり，かつ，腕時計をしている人がいるならばその人は帽子をかぶっている．
\mon[$(\mathrm{E})$] 帽子をかぶっている女性がおり，かつ，帽子をかぶっている人がいるならばその人は腕時計をしている．


(1)選択肢の中から$(\mathrm{A})$であるための必要条件を全てマークせよ．例えば，「$(\mathrm{A}) \Longrightarrow (\mathrm{a})$」が真であるときは$\mathrm{a}$をマークせよ．ただし，必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ．
(2)選択肢の中から$(\mathrm{B})$であるための必要条件を全てマークせよ．ただし，必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ．
(3)選択肢の中から$(\mathrm{C})$であるための必要条件を全てマークせよ．ただし，必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ．
(4)選択肢の中から$(\mathrm{D})$であるための必要条件を全てマークせよ．ただし，必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ．
(5)選択肢の中から$(\mathrm{E})$であるための必要条件を全てマークせよ．ただし，必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ．

選択肢：
$(\mathrm{a})$ 腕時計をしている人がいるならばその人は男性である．
$(\mathrm{b})$ 腕時計をしている男性がいる．
$(\mathrm{c})$ 腕時計をしている人がいるならばその人は女性である．
$(\mathrm{d})$ 腕時計をしている女性がいる．
$(\mathrm{e})$ 腕時計をしていない男性がいる．
$(\mathrm{f})$ 腕時計をしていない女性がいる．