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静岡大学 国立 静岡大学 2014年 第3問
$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする.次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する.$a_1=0$とし,第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば,第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める.そうでないならば,$a_{n+1}=0$と定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し,$a_2$を$p$を用いて表せ.
(2)$k$を自然数とする.関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば,関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ.
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ.
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ.
静岡大学 国立 静岡大学 2014年 第4問
$p$を$\displaystyle 0<p<\frac{1}{6}$を満たす実数とする.次のように数列$\{a_n\}$を帰納的に定義する.$a_1=0$とし,第$n$項$a_n$を用いた関数
\[ f_n(x)=2x^3-3px^2+6a_nx-1 \]
が極大値と極小値をもつならば,第$n+1$項$a_{n+1}$を$f_n(x)$の極大値と極小値の和により定める.そうでないならば,$a_{n+1}=0$と定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$f_1(x)$が極大値と極小値をもつことを示し,$a_2$を$p$を用いて表せ.
(2)$k$を自然数とする.関数$f_k(x)$が極大値と極小値をもつならば,関数$f_{k+1}(x)$も極大値と極小値をもつことを示せ.
(3)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を$p$を用いて表せ.
(4)一般項$a_n$を$p$を用いて表せ.
香川大学 国立 香川大学 2014年 第3問
自然数$n$に対して,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める.点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし,原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし,線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ.
(2)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める.このとき,点$\mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{OX}_1$,$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ.
(4)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ.
香川大学 国立 香川大学 2014年 第3問
自然数$n$に対して,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める.点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし,原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし,線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ.
(2)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める.このとき,点$\mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{OX}_1$,$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ.
(4)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ.
香川大学 国立 香川大学 2014年 第3問
自然数$n$に対して,座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める.点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし,原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし,線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.このとき,次の問に答えよ.

(1)点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ.
(2)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める.このとき,点$\mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{OX}_1$,$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$,$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$,$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$,$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ.
(4)$k$を自然数とするとき,点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ.
岡山大学 国立 岡山大学 2011年 第2問
数列$\{a_n\}$が次のように帰納的に定められている.
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 0 \nonumber \\
a_{n+1} &=& \left\{
\begin{array}{l}
2a_n \quad (n\text{が奇数のとき}) \\
a_n+1 \quad (n\text{が偶数のとき})
\end{array}
\right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)$a_{10}$を求めよ.
(2)$n$が奇数の場合と偶数の場合それぞれについて,$a_{n+4}$を$a_n$で表せ.
(3)$a_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ.
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