「左端」について
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私立 立教大学 2015年 第2問$4$で割って$3$余る自然数を図のように並べ，上から$1$段目，$2$段目，$3$段目，$\cdots$とする．このとき，次の問に答えよ．
$1$段目 \qquad\qquad\,\! $7$
$2$段目 \qquad\quad $11 \quad 15$
$3$段目 \qquad $19 \ \; 23 \ \; 27$
$4$段目 \quad $31 \quad 35 \quad 39 \quad 43$
\quad ： \qquad\,$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$
(1)$6$段目の左から$4$個目にある自然数を求めよ．
(2)$n$段目の左端の自然数を$a_n$とする．$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$2015$は何段目の左から何個目にあるか答えよ．
(4)$n$段目に並んでいる自然数の総和を$S_n$とする．$S_n$を$n$の式で表せ．
$1$段目 \qquad\qquad\,\! $7$
$2$段目 \qquad\quad $11 \quad 15$
$3$段目 \qquad $19 \ \; 23 \ \; 27$
$4$段目 \quad $31 \quad 35 \quad 39 \quad 43$
\quad ： \qquad\,$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$
(1)$6$段目の左から$4$個目にある自然数を求めよ．
(2)$n$段目の左端の自然数を$a_n$とする．$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$2015$は何段目の左から何個目にあるか答えよ．
(4)$n$段目に並んでいる自然数の総和を$S_n$とする．$S_n$を$n$の式で表せ．
国立 徳島大学 2014年 第3問$n$枚のカードに$1$から$n$までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が書かれている．これら$n$枚のカードを横一列に並べて，左端から$i$番目（$1 \leqq i \leqq n$）のカードに書かれた数を$a_i$とする．
(1)$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅱ)$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<k<n$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3)$n \geqq 4$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅲ)$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<p<q<n$
(ii) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(iii) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
(1)$n=5$のとき，$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅱ)$では，$k=2$のとき$a_1<a_2<\cdots<a_k$は$a_1<a_2$を表し，$k=n-1$のとき$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$は$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<k<n$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_k$かつ$a_k>a_{k+1}>\cdots>a_n$
(3)$n \geqq 4$とする．次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を満たすカードの並べ方の総数を$n$の式で表せ．ただし，$(ⅲ)$のそれぞれの不等式は$(2)$と同様に，$p=2$のとき$a_1>a_2$を表し，$q=p+1$のとき$a_p<a_{p+1}$を表し，$q=n-1$のとき$a_{n-1}>a_n$を表す．
(i) $1<p<q<n$
(ii) $a_1=n$かつ$a_p=1$
(iii) $a_1>a_2>\cdots>a_p$かつ$a_p<a_{p+1}<\cdots<a_q$かつ$a_q>a_{q+1}>\cdots>a_n$
公立 大阪府立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
(1)次の文章の$[ ]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 徳島大学 2013年 第2問$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向
$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．
(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．
公立 首都大学東京 2013年 第1問$1$から$10$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$10$枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横$1$列に並べてある．この中から，無作為に$2$枚のカードを選び，その場所を入れかえる操作を考える．$n$を正の整数として，この操作を$n$回行ったとき，左端にあるカードに書かれている番号が$1$である確率を$p_n$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．
(1)$p_1$を求めなさい．
(2)$n$回目の操作のあと，$1$が書かれたカードが左端になく，$(n+1)$回目の操作のあとに$1$が書かれたカードが左端にある確率を$q_n$とするとき，$q_n$を$p_n$を用いて表しなさい．
(3)$p_{n+1}$と$p_n$の間に成り立つ関係式を求めなさい．
(4)$p_n$を$n$を用いて表しなさい．
国立 群馬大学 2012年 第3問$n$を自然数とし，縦が3，横が$2n$の長方形の盤上全体を，隣り合う2辺の長さが1と2の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき，その敷きつめ方の場合の数を$a_n$とする．そのうち左端に3つのタイルが接している場合の敷きつめ方の場合の数を$x_n$とし，それ以外の敷きつめ方の場合の数を$y_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
私立 上智大学 2012年 第3問大きさの同じ$N$個の正方形を，図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図$2$のように$4$通りの並べ方がある．
(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，
$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．
(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．
（図は省略）
(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，
$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，
$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．
(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．
（図は省略）