次の設問に答えなさい．

(1)$x=2+\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$のとき$\displaystyle \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$の値を求めなさい．

(2)$(a+bx+cx^2)^3$の展開式において$x^4$の係数を求めなさい．
(3)$x^2-y^2+3x+y+2$を因数分解しなさい．
(4)$x,\ y$を自然数とするとき，$x^2-y^2+3x+y+2=4$を満たす$x,\ y$を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

式$(2x+3y+xy)^8$の展開式における，項$x^7y^5$，$x^6y^6$のそれぞれの係数を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ．

(i) すべて異なる目が出る確率
(ii) 出た目の最小値が$3$以上になる確率
(iii) 出た目の最小値が$3$である確率

(2)次の問に答えよ．

(i) $(x+y)^4$を展開せよ．
(ii) 導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^4$の導関数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$のとき，
\[ x+y=\sqrt{[ア]},\quad xy=\frac{[イ]}{[ウ]},\quad x^2+y^2=[エ] \]
である．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
2x+3 \leqq 4x-7 \\
|x-6|<3
\end{array} \right.$の解は$[オ] \leqq x<[カ]$である．
(3)関数$y=-2x^2+6x-1 (0 \leqq x \leqq 4)$は$\displaystyle x=\frac{[キ]}{[ク]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$をとり，$x=[サ]$で最小値$[シ][ス]$をとる．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動してできる曲線は放物線$y=x^2-[セ]x+[ソ][タ]$である．
(5)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．$\tan \theta=-\sqrt{6}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{[チ][ツ]}}{[テ]}$，$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}$である．
(6)$(x^2-1)^{10}$の展開式における$x^4$の係数は$[ア][イ]$である．
(7)赤球$5$個，白球$3$個が入っている袋から$2$個の球を同時に取り出すとき，取り出した球が$2$個とも赤球である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ][オ]}$であり，取り出した$2$個の球が異なる色である確率は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク][ケ]}$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{CA}=7$であるとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ス] \sqrt{[セ]}$である．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．

(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[　] \overrightarrow{a}-[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[　]$である．

(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[　]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[　]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[　]$，$y=[　]$において最大値$[　]$をとり，$x=[　]$，$y=[　]$において最小値$[　]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．

(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[　]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[　]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[　]$である．

(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[　]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[　]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(x+\sqrt{2})^8$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．
(2)$(x+\sqrt{2})^{10}$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．
(3)$(x^2+2 \sqrt{2}x+3)^5$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．

次の空欄$[ア],\ [イ]$に「真」または「偽」のいずれかを記入せよ．また空欄$[ウ]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ある自然数$n$について，命題「$n$が偶数ならば$n^2$は偶数である」の逆は$[ア]$，対偶は$[イ]$である．
(2)$3$次方程式$x^3+2x^2-8x-21=0$の解は$x=[ウ],\ [エ],\ [オ]$である．
(3)${(2x+\cos \theta)}^3$を展開したときの$x^2$の係数が$-6$のとき，$\theta=[カ]$である．ただし，$0 \leqq \theta<\pi$とする．
(4)$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+2k^2=0$が実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(5)不等式$-1+2 \log_2 (x+1)>\log_{\frac{1}{2}}(2-x)$を満たす$x$の値の範囲は$[ク]$である．
(6)$\mathrm{A}$君が徒歩と自転車で移動した．スタート地点から途中まで分速$80 \, \mathrm{m}$で$30$分歩き，その後自転車に乗って$10$分進んでゴールに着いたところ，平均の速さは分速$130 \, \mathrm{m}$であった．このときの自転車の速さは分速$[ケ] \, \mathrm{m}$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x,\ y,\ -1)$の大きさが等しく，なす角が${60}^\circ$のとき，$x$の値は$[コ]$，$[サ]$である．
(8)数列$1,\ 11,\ 111,\ 1111,\ 11111,\ \cdots$の第$n$項を$n$の式で表すと，$[シ]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=2x^3-ax^2+3bx$上の点$(-1,\ 4)$における接線が，直線$2013x-671y+2013=0$と平行になるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{SUCCESS}$の$7$文字をすべて使ってできる順列のうち，最初の文字と最後の文字がともに$\mathrm{C}$となる確率を分数で答えよ．
(3)$(5x-y-2z)(25x^2+5xy+y^2-2yz+4z^2+10zx)$の展開式において，$xyz$の係数を求めよ．
(4)円$x^2+2x+y^2-3=0$上を動く点$\mathrm{P}$と，$2$点$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -4)$を$3$つの頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡は，中心が$(a,\ b)$，半径$r$の円となる．このとき，$a,\ b,\ r$の値を求めよ．