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弘前大学 国立 弘前大学 2015年 第3問
側面の展開図が,半径$10$,中心角$x$の扇形である円錐を作る.この円錐の体積の最大値と,そのときの$x$の値を求めよ.ただし,$0^\circ<x<{360}^\circ$とする.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け.
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き,四角錐の展開図を作る.その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と,その時の体積$V$の最大値を求めよ.
(図は省略)
佐賀大学 国立 佐賀大学 2013年 第3問
$x$軸,$y$軸,$z$軸を座標軸,原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において,$z$軸 \\
を中心軸とする半径$1$の円柱を考える.次に,$x$軸を含み$xy$平面と \\
のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$となる平面を$\alpha$とし,平面$\alpha$による円柱の切り口の \\
曲線を$C$とする.また,点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$とする.さらに,曲線$C$上 \\
の点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とし,$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$ \ \\
$(0 \leqq \theta<2\pi)$とする.このとき,次の問に答えよ.
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(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{A}$を通り$z$軸に平行な直線を$\ell$とする.$\ell$によって円柱の側面を切り開いた展開図の上に,曲線$C$の概形をかけ.
(3)図のように,平面$\alpha$と$yz$平面の交線を$Y$軸とする.$xY$平面における曲線$C$の方程式を求め,その概形をかけ.
(図は省略)
南山大学 私立 南山大学 2013年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)すべての実数$x$について,$2$次不等式$2x^2-6ax+3a>-4$が成り立つとき,$a$の値の範囲は$[ア]$である.また,$a>0$の範囲で,$2$次関数$y=2x^2-6ax+3a$の最小値が$-4$となるとき,その最小値をとる$x$の値は$[イ]$である.
(2)$\displaystyle \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4 (0<\theta<\frac{\pi}{2})$のとき,$\sin \theta \cos \theta=[ウ]$であり,$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta=[エ]$である.
(3)実数$k$について,方程式$x^2+y^2-6kx+4(k+1)y+14k^2+7k+2=0$が半径$\sqrt{2}$以上の円を表すとき,$k$の値の範囲は$[オ]$である.また,その円が$y$軸に接するときの円の半径は$[カ]$である.
(4)$12^5$は$[キ]$桁の数であり,$12^n$が$12$桁の数になるときの整数$n$は$[ク]$である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(5)展開図が円と半径$l$の扇形からなる直円錐を考える.$l$が一定のとき,この円錐の体積を最大にするような円錐の高さを,$l$で表すと$[ケ]$であり,扇形の中心角は$[コ]$度である.
日本女子大学 私立 日本女子大学 2012年 第3問
点$\mathrm{H}$を中心,線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし,点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える.ただし,線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする.右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である.左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する.この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$,母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする.さらに,線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる.左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$,$\mathrm{AE}=3$のとき,以下の問いに答えよ.

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ.
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと,この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ.
(3)円錐の表面上で,底面を横切らずに,点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を,この展開図を利用して求めよ.
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ.
(図は省略)
南山大学 私立 南山大学 2010年 第1問
$[ ]$の中に答を入れよ.

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とするとき,$(a,\ b)=[ア]$であり,$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$の小数部分の値は$[イ]$である.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=12$,$\mathrm{CA}=8$とし,$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき,$\mathrm{AD}=[ウ]$である.また,$\mathrm{AD}$を軸とし,$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$\triangle \mathrm{ADC}$を折り返すとき,$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする.このとき,$\sin \angle \mathrm{BDE}=[エ]$である.
(3)$x>0,\ y>0$とする.$\displaystyle \left( x+\frac{5}{y} \right) \left( y+\frac{2}{x} \right)$は,$xy=[オ]$のとき最小値$[カ]$をとる.
(4)展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える.このとき円錐の高さは$[キ]$である.また,$k$を一定とすると,$r=[ク]$のとき円錐の表面積が最大になる.ただし,円周率を$\pi$とする.
(5)実数$x,\ y,\ z (xyz \neq 0)$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき,$x$を$z$で表すと$[ケ]$であり,$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$を対数を用いないで表すと$[コ]$である.
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