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国立 福井大学 2014年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad 3a_{n+1}-4a_n+1=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$を求めよ．
\[ a_1=2,\quad 3a_{n+1}-4a_n+1=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$を求めよ．
国立 福井大学 2014年 第3問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad 3a_{n+1}-4a_n+1=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$を求めよ．
\[ a_1=2,\quad 3a_{n+1}-4a_n+1=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$の小数部分を$b_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}$を求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第1問実数$p,\ q$が$p+q=\sqrt{6}$，$p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
私立 早稲田大学 2014年 第1問$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$は$2$次方程式$x^2+[ア]x+[イ]=0$の解であり，$a^3+6a^2-21a+23$の値は$[ウ]+[エ] \sqrt{[オ]}$である．
私立 北里大学 2014年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{7}{3+\sqrt{2}}$の小数部分を$a$とするとき，$a$の値は$[ア]$，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}$の値は$[イ]$である．
(2)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとき，$4$回とも$1$の目が出る確率は$[ウ]$である．また，$1$の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(3)$k$を正の定数とし，$2$つの放物線$y=-x^2+3x-2k$，$y=x^2+2kx+4k$をそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$の頂点の$y$座標が$1$であるとき，$k$の値は$[オ]$である．$C_2$が$x$軸と接するとき，$k$の値は$[カ]$である．また，$x$軸が$C_1$と$C_2$のどちらとも共有点をもたないような定数$k$の値の範囲は$[キ]$である．
(4)半径が$3$である球を$A$，底面の円の半径が$6$である円錐を$B$とする．このとき，球$A$の体積は$[ク]$である．また，球$A$が円錐$B$に図のように内接するとき，円錐$B$の表面積は$[ケ]$である．
（図は省略）
私立 北海道医療大学 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
私立 北海道医療大学 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．
(4)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．
国立 福島大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{11}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．$\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{a}{2}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき，$\displaystyle \frac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ．
(3)$a_1=2,\ a_{n+1}+3a_n=4 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(1)$\sqrt{11}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．$\displaystyle \frac{1}{b}+\frac{a}{2}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき，$\displaystyle \frac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ．
(3)$a_1=2,\ a_{n+1}+3a_n=4 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．