$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

$xy$平面上に次に示す，$C$と$\ell$がある．
\[ \begin{array}{l}
C:y=|x^2-4| \\
\ell:y=2x+4
\end{array} \]
このとき以下の問に答えよ．

(1)$C$と$\ell$の交点は$x$座標の小さい順に
\[ ([ネノ],\ [ハ])$，$([ヒ],\ [フ])$，$([ヘ],\ [ホマ]) \]
である．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ミム]}{[メ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$～$(ⅲ)$のそれぞれの場合について，$3$つの実数$A,\ B,\ C$の大小関係を，下の選択肢から選べ．

(i) $A=\sin 1^\circ$，$B=\tan 1^\circ$，$C=1-\cos 2^\circ$
(ii) $A=\comb{150}{80}$，$B=\comb{150}{81}$，$C=\comb{151}{81}$

(iii) $\displaystyle A=\frac{10}{\pi}$，$B=\sqrt{10}$，$\displaystyle C=\frac{1}{\tan 15^\circ}$


選択肢： \quad $(\mathrm{a}) A>B>C \qquad (\mathrm{b}) A>C>B \qquad (\mathrm{c}) B>A>C$
\qquad\qquad \;\;\; $(\mathrm{d}) B>C>A \qquad (\mathrm{e}) C>A>B \qquad (\mathrm{f}) C>B>A$

(2)$\tan \alpha=-\sqrt{7} (0^\circ<\alpha<180^\circ)$のとき
\[ \cos \alpha=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \]
である．
(3)$a,\ b$は自然数で，$\displaystyle \frac{a^2}{b}$の整数部分は$6$桁であり，$\displaystyle \frac{b^2}{a}$は小数第$3$位にはじめて$0$でない数字が現われる$1$より小さい数である．このとき，$a$は$[エ]$桁または$[オ]$桁，$b$は$[カ]$桁である．ただし$[エ]<[オ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$2$つの異なる正の数の積が$9$であり，かつ，それらのうち大きい方の$2$倍と小さい方の和が$12$であるという．これらの異なる正の数のうち，大きい方を$x$，小さい方を$y$とするとき，以下の問に答えよ．

(i) $x,\ y$に関する連立方程式を求めよ．
(ii) $x$に関する$2$次方程式を求めよ．
(iii) $x,\ y$の値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $x^3+y^3$の値を求めよ．

(2)$f(x)=x^2-2ax+4a+5$とする．ただし，$a$は定数とする．

(i) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値を，次の$a$の各範囲においてそれぞれ求めよ．
$① a \leqq -3 \qquad ② -3<a \leqq 2 \qquad ③ a>2$
(ii) 関数$y=f(x)$の$-3 \leqq x \leqq 2$における最小値が$4$であるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $2$次方程式$f(x)=0$が$-3$以上，かつ，$2$以下である異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=[　]$である．
(2)袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$[　]$である．
(3)数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=[　]$であり，$a_n=[　]$である．
(4)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=[　]$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=[　]$である．
(5)$2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$[　]$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$[　]$である．
(6)整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$[　]$であり，余りは$[　]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=[　]$である．

方程式$(\log_3 x)^2+(p-2) \log_3 x+p=0$が，ともに$0$より大きく，かつ，$1$より小さい異なる$2$つの実数解をもつとき，実数$p$がとりうる値の範囲は$[$1$]$である．

$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}$，大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x \leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(3)放物線$y=x^2$上の点$(p,\ p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,\ 2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．

$a$を正の整数とする．正の実数$x$についての方程式
\[ (*) \quad x = \left[ \frac{1}{2} \left( x+ \frac{a}{x} \right) \right] \]
が解を持たないような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．ここに$[ \quad ]$はガウス記号で，実数$u$に対し，$[ \; u \; ]$は$u$以下の最大の整数を表す．

(1)$a = 7,\ 8,\ 9$の各々について，$(*)$の解があるかどうかを判定し，ある場合は解$x$を求めよ．
(2)$a_1,\ a_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$を求めよ．

自然数$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を
\[ \overrightarrow{a}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ n^{\frac{1}{4}}+1 \right),\quad \overrightarrow{b}=\left(n^{\frac{1}{4}},\ 1-n^{\frac{1}{4}} \right) \]
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1,\ n_2,\ \cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．
(3)$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta_i$とおく．自然数$k$に対して，
\[ S_k= \frac{1}{\tan^2 \theta_1}+\frac{1}{\tan^2 \theta_2}+\cdots+\frac{1}{\tan^2 \theta_k} \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{k \to \infty}S_k$を求めよ．