次の問に答えよ．

(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．

(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．

$a$を定数とする．直線$\ell:y=6ax$，曲線$C:y=|3x^2-6x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$C$の共有点が$3$個になるような$a$の範囲を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$とし，$\ell$と$C$の共有点の$x$座標を小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3$とする．このとき，$\ell$と$C$で囲まれた部分のうち$x$座標が$x_2$以上の部分の面積を求めよ．

放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とする．放物線$C$と$x$軸との交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell$とする．

(1)放物線$C$の頂点の座標は$([ア],\ [イウ])$である．
(2)点$\mathrm{P}$の座標は$([エ],\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標は$([オ],\ 0)$である．
(3)接線$\ell$の方程式は$y=[カ]x-[キ]$である．
(4)放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)直線$y=-2x+k$が放物線$C$に接するとき，$k=[コ]$であり，この直線と接線$\ell$，および放物線$C$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．

$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．

(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．

$5$で割ったときの余りが$2$または$3$である$1000$以下の正の奇数を小さい順に並べたものを$a_1,\ \cdots,\ a_N$とする．例えば，$a_1=3$，$a_2=7$，$a_3=13$である．以下の問いに答えなさい．

(1)$N$を求めなさい．
(2)$a_1+\cdots +a_N$を求めなさい．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

さいころを$4$回投げて，$k$回目（$k=1,\ 2,\ 3,\ 4$）に出る目の数を$X_k$とする．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．

「$n \leqq \sqrt{11}<n+1$が成り立つような整数$n$を見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．

[答案]
まず，${\sqrt{11}}^2=11$から奇数を小さい順に引いていく．つまり，
\[ 11-1=10,\quad 10-3=7,\quad 7-5=2 \]
となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を$3$回引いたので，$n=3$となる．

平面上で$2$つの円$S,\ S^\prime$が点$\mathrm{P}$で内接している．ただし$S^\prime$が$S$より小さいとする．円$S,\ S^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とおく．円$S^\prime$上にあって直線$\mathrm{PO}^\prime$上にはない点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$と円$S$との$\mathrm{P}$とは異なる交点を$\mathrm{A}$，直線$\mathrm{AO}$と円$S$との$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$，直線$\mathrm{BO}^\prime$と円$S$との$\mathrm{B}$とは異なる交点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{CQ}$と円$S$との$\mathrm{C}$とは異なる交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{AO} \para \, \mathrm{QO}^\prime$を示せ．
(2)$\mathrm{DB}=\mathrm{BP}$を示せ．

大小$2$個のさいころを投げたとき，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$\displaystyle \frac{X}{X+3Y} \geqq \frac{2}{7}$となる確率を求めよ．