次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=|\displaystyle\frac{7|{2}x-3}-x$とする．方程式$f(x)=0$の解は，小さい順に，$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}$，$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

折れ線$L:y=|f(x)|$と直線$y=k$（ただし，$k$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle k=\frac{[オ]}{[カ]}$のときであり，$L$と直線$y=mx-1$（ただし，$m$は定数）がちょうど$3$点を共有するのは$\displaystyle m=\frac{[キ]}{[ク]},\ \frac{[ケコ]}{[サ]}$のときである．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して，等式$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+5 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+4 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$（ただし，$k$は実数）が成り立つ．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{k+[シ]}{[スセ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分するとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{\mathrm{AQ}},\quad k=\frac{[テト]}{[ナ]} \]
である．

次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$のとき，$a+b=[$*$ア] \sqrt{[イ]}$，$a^2+b^2=[ウエ]$である．
(2)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が$|\overrightarrow{p|}=2$，$|\overrightarrow{q|}=3$を満たし，$\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$，$6 \overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}$が垂直のとき，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$とのなす角$\theta$は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \pi$である．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．

(3)$1.44^n$の整数部分が$4$桁となるような整数$n$の範囲は$[キク] \leqq n \leqq [ケコ]$である．必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$を用いよ．
(4)$x,\ y$が$2^x=3^y$を満たす正の実数であるとする．$2x$と$3y$の小さい方の値が$1$であるとき，$\displaystyle x+y=\frac{[サ]}{[シ]}$である．ただし，$\displaystyle \log_{10}2=\frac{3}{10}$，$\displaystyle \log_{10}3=\frac{1}{2}$として計算せよ．

以下の各問いに答えなさい．

(1)底面の直径が$6$，高さが$9$の直円錐がある．直円錐の内側に球を配置した．直円錐の底面と側面に球が接しているとき，この内接球の半径$r$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{AB}$上に円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$が接しており，かつ，円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接している．線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_1$の接点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，円$\mathrm{O}_1$の半径を$7$，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{7}$における円$\mathrm{O}_2$の半径$r$を求めよ．ただし，円$\mathrm{O}_2$の半径は円$\mathrm{O}_1$より小さいとする．
(3)三階建ての建物がある．図のように$3$階を$\mathrm{AB}$，$2$階を$\mathrm{CD}$，$1$階を$\mathrm{EF}$としたとき，$3$階から$1$階の通路を$\mathrm{AP}$，$1$階から$2$階の通路を$\mathrm{PD}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{EF}$上で動かしたとき，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{PD}$の通路の長さの合計が最も短くなるときの値（$\mathrm{AP}+\mathrm{PD}$）を求めよ．ただし，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\mathrm{EF}=8$，$\mathrm{AC}=\mathrm{CE}=\mathrm{BD}=\mathrm{DF}=2$とする．
（図は省略）

$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．

(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．

(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．

$p$は奇数である素数とし，$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく．

(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ．
(2)$N$が$144$の倍数になるような$p$の値を，小さい順に$5$つ求めよ．

$x,\ y$を自然数，$p$を$3$以上の素数とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$(1)$，$(3)$は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)$x^2-y^2=p$が成り立つとき，$x,\ y$を$p$で表せ．
(2)$x^3-y^3=p$が成り立つとき，$p$を$6$で割った余りが$1$となることを証明せよ．
(3)$x^3-y^3=p$が自然数の解の組$(x,\ y)$をもつような$p$を，小さい数から順に$p_1$，$p_2$，$p_3$，$\cdots$とするとき，$p_5$の値を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$1$の円$C$がある．円$C$上の$1$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$a_i>0$，$i=1,\ 2$を考える．$\mathrm{OA}$が$x$軸となす角度を$\theta$とする．

(1)円$C^\prime$を中心$(b_1,\ b_2)$，$b_i>0$，$i=1,\ 2$，半径$1$の円とし，点$\mathrm{A}$と$(1,\ 0)$で円$C$と交わっているものとすると，$(b_1,\ b_2)=[$14$]$である．また円$C^\prime$の点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$[$15$]$である．
(2)次に$\theta$を限りなく$0$に近づけていくとき，
\[ \theta,\ \sin \theta,\ \sqrt{2(1-\cos \theta)},\ 1-\cos \theta+\sin \theta \]
の値の大小関係が定まり，これらを小さい順に並べて，$a<b<c<d$とすると
\[ a=[$16$],\ b=[$17$],\ c=[$18$],\ d=[$19$] \]
であり，$\displaystyle \frac{d-a}{bc}$は$[$20$]$に近づく．