次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．
\[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \]
ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2)(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ．
\[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3)(2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値
\[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \]
を求めよ．

2回微分可能な関数$f(x)$，すなわち$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$及び$f^\prime(x)$の導関数$f^{\prime\prime}(x)$が存在する関数が，すべての実数$x$について
\[ f^\prime(x)>f^{\prime\prime}(x) \]
を満たしている．また，$a<b$とする．

(1)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(3)すべての実数$x$について$f(x)>0$であるとき，すべての実数$x$について
\[ f(x)>f^\prime(x)>0 \]
が成立することを示せ．

太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．

\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．

(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}

\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$

\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．

$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．

$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．

（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x^2+4a}$を考える．ただし，$a$は$1 \leqq a<2$をみたす定数とする．導関数$f^\prime(x)$に対して，$f^\prime(x)=0$となる$x$のうち正のものを$\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$f(x)=f(a)$をみたす$x$を求めよ．
(3)$\displaystyle a-1<\frac{2a}{2+a}$および$\beta<a$を示せ．
(4)$a-1 \leqq x \leqq a$において，$f(x)$の最小値が$\displaystyle \frac{4}{9}$であるとき，$f(x)$の最大値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt$を考える．ただし，$\alpha$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を定数とみて，$u=x-t$とおく．置換積分法を用いて，
\[ \int_\alpha^x (t-\alpha)\cos (x-t) \, dt=\int_0^{x-\alpha}(x-\alpha-u)\cos u \, du \]
となることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x) \ (\alpha \leqq x \leqq \alpha+2\pi)$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$y=f(x)=(x+2)e^{-x}$を曲線$A$，$y=ax+2a$を直線$B$とする（ただし，$a$は$a \neq 0$の実数）．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表を示せ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線$A$が直線$B$に接するとき，$a$の値を求めよ．
(4)曲線$A$と直線$B$が接するとき，曲線$A$と直線$B$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BC}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．この四面体を$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面で切り，この平面が線分$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}$を求めることを考えよう．\\
点$\mathrm{S}$は$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面上にあるから，定数$s,\ t,\ u$を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s \, \overrightarrow{\mathrm{OP}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{OQ}} +u \, \overrightarrow{\mathrm{OR}} \quad (s+t+u=1) \]
と書くことができる．ここで，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ス]\overrightarrow{\mathrm{OB}}+[セ]\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[ソ]}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$それぞれの定数倍の和として表すことができる．そこで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の係数をそれぞれ定数$s^{\prime},\ t^{\prime},\ u^{\prime}$とおくことにより
\[ \overrightarrow{\mathrm{OS}} = s^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OB}} +u^{\prime}\overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (18s^{\prime}+16t^{\prime}+11u^{\prime}=[タ]) \]
と書くことができる．ところが，点$\mathrm{S}$は線分$\mathrm{AC}$上にあることから，$s^{\prime},\ t^{\prime}\ u^{\prime}$を求めることができ，$\mathrm{AS}:\mathrm{SC}=[チ]:[ツ]$であることがわかる．
ただし，$[ソ]$，$[チ]$，$[ツ]$はできる限り小さい自然数で答えること．

$a$を実数とし，関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_0^a x \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt+1$および$\displaystyle \int_{-1}^0 f(x) \, dx=-\frac{1}{3}$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^a \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt$の値を求めよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=2f(x)-xf^\prime(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)=x \log x$，$g(x)=x^x$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は$e$を底とする自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$g(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の範囲における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．