$a,\ b,\ c$を実数とするとき，関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して，関数$F(x)$を$\displaystyle F(x)=\int_0^x (x+1-t)f(t) \, dt$により定める．次の問いに答えよ．

(1)$F^{\prime\prime}(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$および$F^{\prime}(0)=f(0)$を示せ．
(2)$a=1,\ b=c=0$のとき，$F(x)$を求めよ．
(3)$F(x)=x^4+x^2+26x$となるように，$a,\ b,\ c$の値を定めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$n$を$3$以上の自然数とする．整式$x^n$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
\[ 1,\quad 1+3+1,\quad 1+3+9+3+1,\quad 1+3+9+27+9+3+1,\quad \cdots \]
の第$n$項から第$2n$項までの和を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．
(3)微分可能な関数$f(x)$が$f(0)=0$かつ$f^\prime(0)=\pi$を満たすとき，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{f(1-\cos 2\theta)}{\theta^2} \]

行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし，原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$．次に答えよ．

(1)$f$により，直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り，直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする．$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$a>0$とする．
(2)実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)(1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき，$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ．

$a$を0以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．

(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．

$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし，P$(x_0,\ y_0)$を$C$上の点とする．次の各問いに答えよ．

(1)曲線$C$の点Pにおける接線$\ell$の方程式は
\[ x_0x-y_0y=2 \]
となることを証明せよ．
(2)原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとする．Hの座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき，$x_1,\ y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ．
(3)F$(1,\ 0)$，F$^\prime(-1,\ 0)$とする．$\text{FH} \cdot \text{F}^\prime \text{H}$は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

関数$g(x)$は微分可能であるとし，関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_{-\pi}^\pi \{t-g(x)\sin t\}^2 \, dt$と定める．

(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi t \sin t \, dt,\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2 t \, dt$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を$g(x),\ g^\prime(x)$を用いて表せ．
(3)$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．

$\alpha>1$とする．$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする．$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき，$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし，点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする．このとき，点Rは直線$\ell_t$上にあり，曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．