$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k \sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分とする．

(1)$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime}(x)=e^{k \sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$f(x)$が最大となるときの$f(x)^2$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．

(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$p$を0でない定数とする．関数$f(x)=ae^{-x}\sin px+be^{-x}\cos px$について，$f^\prime(x)=e^{-x}\sin px$となるように，定数$a,\ b$を定めよ．
(2)$\displaystyle S(t)=\int_0^{t^2}e^{-x} \sin \frac{x}{t} \, dx \ (t \neq 0)$とおく．このとき，$S(t)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{S(t)}{t^3}$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f \left(\frac{\pi}{8} \right)$および$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

微分可能な関数$y=f(x)$が次の方程式を満たすとする．
\[ a_nf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+\cdots +a_1f^{(1)}(x)+a_0f(x)=0 (\text{A}) \]
ここに$n$は自然数，$a_i \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots, n)$は実数の定数で，$a_n \neq 0$である．また，$y^{(k)}=f^{(k)}(x)$は$f(x)$の$k$次導関数で$y^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)$とする．(A)のような方程式を第$n$階微分方程式といい，(A)に対して$t$の$n$次方程式
\[ a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_1t+a_0=0 (\text{B}) \]
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．

(1)特性方程式(B)の解が実数$r$であるとき，関数$y=e^{rx}$が方程式(A)を満たすことを証明せよ．
(2)$n$次方程式(B)が実数$r$を$k$重解$^{(\text{注})}$にもつとき，次の$t$に関する方程式は$r$を$k-1$重解にもつことを証明せよ．ただし，$k=2,\ 3,\ \cdots$とする．
\[ na_nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\cdots +2a_2t+a_1=0 \]
(注) \quad $t$の$m$次方程式が適当な多項式$Q(t)$を用いて$(t-r)^kQ(t)=0$となるとき，$t=r$をこの方程式の$k$重解と定義する．ただし，$k=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(3)実数の定数$r$に対して$x$の関数を$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$とする．このとき，$y_j^{(n)}$を$x,\ y_{j-1}^{(n-1)}$および$y_{j-1}^{(n)}$を用いて表せ．ただし，$j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(4)実数$r$が$n$次方程式(B)の$k$重解であるとき$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ k-1)$が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ．ただし，$k$は自然数とする．

座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=x^4-12x^2+8$のとき，$f(x)+f^{\prime\prime}(x)=0$によって表される4次方程式の実数解を求めよ．
(2)$\displaystyle \sin \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi x \sin^2 x \, dx$を求めよ．