$x$の多項式$f(x)$は
\[ \int_{-1}^1 xf(x) \, dx=0,\quad f(1)=f(-1)=0 \]
を満たしているとする．

(1)このとき$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2f^\prime(x) \, dx=0$を示せ．
(2)さらに多項式$f(x)$は3次以下で$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)e^x \, dx=1$を満たしているとする．このような$f(x)$を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)$が条件$f(0)=3$，$f^\prime(0)=-2$，$f^\prime(3)=4$を満たすとする．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ 0 \right)$から$2$本の接線を引いたとき，それぞれについて接線の方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$および$(2)$で求めた$2$本の接線で囲まれた部分の面積を求めよ．

連続関数$f(x)$に対して，
\[ g(x)=\int_0^x (f(t)+2) \sin (x-t) \, dt \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^x (t+2) \sin (x-t) \, dt$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=\sin x \int_0^x (f(t)+2) \cos t \, dt-\cos x \int_0^x (f(t)+2) \sin t \, dt$を示せ．
(3)関数$g(x)$の導関数$g^\prime(x)$は$\displaystyle g^\prime(x)=\int_0^x (f(t)+2) \cos (x-t) \, dt$となることを示せ．
(4)関数$g^\prime(x)$の導関数$g^{\prime\prime}(x)$は$g^{\prime\prime}(x)=f(x)-g(x)+2$となることを示せ．
(5)任意の実数$x$に対して$g(x)=f(x)$が成り立つとき，$f(x)$を求めよ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．

$(ⅰ)$ $f_0(x)=e^{2x}+1$
$(ⅱ)$ $\displaystyle f_n(x)=\int_0^x (n+2t)f_{n-1}(t) \, dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ f_n^\prime \left( \frac{1}{2} \right) \right\}$を求めよ．ただし，$0<r<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$となることを用いてよい．

関数$f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(e^x+e^{-x})$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$g(x)=e^x-e^{-x}$とおく．関数$g(x)$は単調増加であることを示せ．
(2)$u=g(x)$とおくとき，$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を$u$を用いて表せ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．

(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．

(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）

(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]

$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は，
\[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \]
となることを示せ．
(3)曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4)$i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．

$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．


(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．

三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$は辺$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$の長さが$a$，$\angle \mathrm{A}_0=60^\circ$，$\angle \mathrm{B}_0=90^\circ$の直角三角形であり，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$は辺${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime$の長さが$a$，$\angle {\mathrm{A}_0}^\prime=45^\circ$，$\angle {\mathrm{B}_0}^\prime=90^\circ$の直角三角形である．右図に示すように三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$をとり，正方形$\mathrm{B}_0 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$を作る．次に，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$の$3$つの辺上に点$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$をとり，正方形$\mathrm{B}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$を作る．これを繰り返し，正方形$\mathrm{B}_{j-1} \mathrm{D}_j \mathrm{A}_j \mathrm{B}_j$を作る．その正方形の面積を$S_j$とおく．ただし，$j=1,\ 2,\ \cdots$である．同様な操作で，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$にも正方形${\mathrm{B}_{j-1}}^\prime {\mathrm{D}_j}^\prime {\mathrm{A}_j}^\prime {\mathrm{B}_j}^\prime$を作り，その正方形の面積を${S_j}^\prime$とおく．これらの図形について以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$S_1$を$a$を用いた式で示せ．
(2)$S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ．
(3)三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ．
(4)$\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は，収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．

関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して次の等式が成り立っているとする．
\[ f^\prime(x)=x \int_{-2}^1 f(t) \, dt+\int_0^1 tf^\prime(t) \, dt \]
このとき，次の問に答えよ．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で$a>0$とする．

(1)$b,\ c$を$a$で表せ．
(2)曲線$y=f(x)$の$\displaystyle x \geqq -\frac{1}{2}$の部分と$x$軸および$y$軸とで囲まれた図形の面積が$1$のとき，$a$の値を求めよ．