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国立 三重大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$のグラフを曲線$C$とし，曲線$C$を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$だけ平行移動した曲線を$C^{\, \prime}$とする．
(1)曲線$C$と曲線$C^{\, \prime}$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)2曲線$C,\ C^{\, \prime}$で囲まれた領域の面積を求めよ．
(1)曲線$C$と曲線$C^{\, \prime}$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)2曲線$C,\ C^{\, \prime}$で囲まれた領域の面積を求めよ．
国立 三重大学 2011年 第4問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2x}+\tan x,\ g(x)=x\cos (x^2)$について以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$\displaystyle 0< \alpha < \frac{\pi}{2}$の範囲にある$\alpha$で$f(\alpha)=0$となるものがただひとつ存在することを示せ．
(2)閉区間$\displaystyle \left[\; 0,\ \sqrt{\frac{\pi}{2}} \; \right]$における$g(x)$の増減表を書け．必要ならば(1)の$\alpha$を用いてよい．
(3)$\displaystyle 0< \beta < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$の範囲にあり$g^{\prime}(\beta)=0$を満たす$\beta$を(1)の$\alpha$を用いて表せ．また$g(x)=x \cos (x^2) \ (0 \leqq x \leqq \beta)$の逆関数を$h(x)$とする．このとき$y=g(x)$のグラフと$y=h(x)$のグラフの関係に注意して，定積分$\displaystyle \int_0^{g(\beta)} h(x) \, dx$を$\alpha$を用いて表せ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える．ただし，対数は自然対数とする．
(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより，
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ．
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ．
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．
国立 宇都宮大学 2011年 第4問関数$f(x)$は$f(0)=b$をみたし，その導関数は
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．
\[ f^\prime(x)=(x-1)(x-a) \]
であるとする．ただし，$a$と$b$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ b)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(3)$f(x)$の極大値が$40$，極小値が$4$であるとき，定数$a$と$b$の値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問関数$f(x)=x+\cos (2x)$がある．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描け．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線$\displaystyle y=f(x) \ \left( \text{ただし，} \ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描け．
国立 福井大学 2011年 第4問関数$f(x)=(x^2-4x+1)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)$は$g^\prime(x)=f(x)$を満たし，かつ，曲線$y=g(x)$上の点$(3,\ g(3))$における接線は$x$軸と点$(2,\ 0)$で交わる．このとき$g(x)$を求めよ．
(3)2曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の2つの交点をP，Qとするとき，曲線$y=f(x)$と線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 奈良教育大学 2011年 第2問自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$と置く．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．
(1)$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{n-1} x)(\sin x)^\prime \, dx$と書きなおし，部分積分を適用して$I_n$と$I_{n-2}$の関係式を求めよ．但し$n \geqq 3$とする．
(2)$I_5$を求めよ．
国立 奈良教育大学 2011年 第3問次の設問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right) \ (x>0)$の逆関数を求めよ．
(2)関数$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\left( e^x-e^{-x} \right)$の逆関数$h(x)$を求めよ．
(3)上で求めた関数$h(x)$の導関数を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．
\setcounter{tokeikobango}{0}
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=x^2$
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=1$
(2)次の等式を満たす関数$f(x)$，および定数$a$を求めよ．
\[ \int_a^x f(t) \, dt = x^2-1 \]
(3)等式$\displaystyle f(x)=x^2-\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．
(1)定義に基づいて次の関数の導関数を求めよ．
\setcounter{tokeikobango}{0}
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=x^2$
\mon[$\Tokeiko$] $f(x)=1$
(2)次の等式を満たす関数$f(x)$，および定数$a$を求めよ．
\[ \int_a^x f(t) \, dt = x^2-1 \]
(3)等式$\displaystyle f(x)=x^2-\int_{-1}^1 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．