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私立 中央大学 2012年 第4問関数$f(x)$の第$n$次導関数を$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)$で表す．いま，自然数$n$に対して関数$H_n(x)$を次で定義する．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ．
(1)$H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ．さらに，$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，定積分
\[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \]
を$H_{n-1}(a)$，$H_{n-2}(a)$，$H_{n-2}(0)$を用いて表せ．ただし，$a$は実数とする．
(4)$n=6$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ．
必要ならば，自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい．
私立 愛知工業大学 2012年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．
(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．
(1)$|x+1|-3 |x-1|=4x+1$をみたす$x$は$x=[ア]$である．
(2)$3$つのさいころを同時に投げるとき，$2$つは同じで他の$1$つは異なる目が出る確率は$[イ]$であり，$3$つとも異なる目が出る確率は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$とする．$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=[エ]$であり，$\displaystyle S_n>\frac{2011}{2012}$となるような最小の自然数$n$の値は$n=[オ]$である．
(4)$xy$平面において，点$(0,\ 1)$を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{P}$が直線$y=2x-1$上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点は直線$y=[カ]$上を動く．
(5)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta=[キ]$，$\sin \theta=[ク]$である．
(6)$f(x)=\sqrt{x}$のとき，$f^\prime(x)=[ケ]$である．また，$\displaystyle \int_{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}^{\pi^2} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx=[コ]$である．
私立 杏林大学 2012年 第1問$[カ]$，$[キ]$の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを$1$ずつ選べ．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
袋の中に，$1$から$13$までの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ入っている．この袋から$3$枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順に$x,\ y,\ z$と定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組$(x,\ y,\ z)$を，重複なく集めてできる集合
\[ U=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; x,\ y,\ z \text{はカードを取り出して定められる数} \} \]
を全体集合と定める．また，集合$U$の部分集合$P,\ Q$をそれぞれ
$P=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z>x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \},$
$Q=\{ (x,\ y,\ z) \;|\; z<x+y,\ (x,\ y,\ z) \in U \}$
とする．
(1)集合$U$の要素の個数は$[アイウ]$である．また，$\overline{P} \cap \overline{Q}$に含まれる要素の個数は$[エオ]$である．
(2)集合$U$の要素$(x,\ y,\ z)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=z-y \\
y^\prime=z-x \\
z^\prime=z
\end{array} \right. \]
で表わされる$(x^\prime,\ y^\prime,\ z^\prime)$に移す変換を$f$とする．このとき，集合$P$の要素$p$の変換$f$による像$p^\prime$は$p^\prime [カ]$を満たし，$p^\prime$の変換$f$による像$p^{\prime\prime}$は$p^{\prime\prime} [キ]$となる．
また，集合$Q$の要素の個数は$[クケコ]$である．
$[カ]$の解答群
\[ \begin{array}{lll}
① \in P \phantom{AAA} & ② \in Q & ③ \in \overline{P} \\
④ \in \overline{Q} & ⑤ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \phantom{AAA} & ⑥ \not\in U
\end{array} \]
$[キ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
① \in Q \phantom{AAA} & ② \in \overline{P} \phantom{AAA} & ③ \in \overline{Q} \phantom{AAA} & ④ \in \overline{P} \cap \overline{Q} \\
⑤ \not\in U & ⑥ =p & ④chi =p^\prime &
\end{array} \]
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$x,\ y,\ z$である直角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[サ]$通りある．また，$z=13$の場合，$3$辺の長さが$x,\ y,\ z$である鋭角三角形を作ることができる$(x,\ y,\ z)$の組は$[シス]$通りである．
私立 東京理科大学 2012年 第2問以下の問いに答えなさい．
(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．
(1)関数$y=x^{\sqrt{x}}$（ただし，$x>0$）について，導関数$y^\prime$を求め，$y^\prime=0$となる$x$の値を求めなさい．
(2)連立不等式
\setstretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \leqq y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
\displaystyle\frac{1}{4}y^2 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \\
x>0 \\
y>0
\end{array} \right. \]
\setstretch{1.4}
で表される領域の面積を求めなさい．
私立 九州産業大学 2012年 第5問関数$f(x)=xe^{-x} (0 \leqq x \leqq 3)$とする．曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=3$で囲まれる図形を$G$とする．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)関数$f(x)$の極値は$[イ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標は$[ウ]$である．
(4)図形$G$の面積は$[エ]$である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ア]$である．
(2)関数$f(x)$の極値は$[イ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標は$[ウ]$である．
(4)図形$G$の面積は$[エ]$である．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さがそれぞれ
\[ \mathrm{AB}=5,\quad \mathrm{BC}=7,\quad \mathrm{AC}=4 \sqrt{2} \]
であるとする．この三角形の$\angle \mathrm{ABC}$の大きさを$B$で表すと
\[ \cos B=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$は，
\[ R=\frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．また，$\angle \mathrm{ABC}$の$2$等分線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の交点で$\mathrm{B}$と異なる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=\sqrt{[カ][キ]} \]
であり，さらに$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると，$\triangle \mathrm{AOD}$の面積は$[ク]$となる．
(2)赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている袋から，玉を同時に$4$個取り出すとき，次の確率を求めよ．
(i) 取り出した玉の色がすべて青色である確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) 取り出した玉の色が少なくとも$2$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[シ][ス][セ]}{165}$である．
(iii) 取り出した玉の色が$3$種類である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 取り出した玉に赤玉が少なくとも$2$個含まれている確率は，$\displaystyle \frac{[ツ][テ]}{[ト][ナ]}$である．
(3)関数$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x)$を
\[ f_0(x)=e^{x^2},\quad f_1(x)=xe^{x^2},\quad f_2(x)=x^2e^{x^2} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底であり，$e^{x^2}$は$e^{(x^2)}$を表す．
関数$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2)$の導関数を$g_n(x)$とすると，
\setstretch{2.0}
\[ \begin{array}{l}
g_0(x)=[ニ]xe^{x^2} \\
g_1(x)=([ヌ]x^2+[ネ])e^{x^2} \\
g_2(x)=([ノ]x^3+[ハ]x)e^{x^2}
\end{array} \]
\setstretch{1.4}
である．関数$h(x)$を
\[ h(x)=(3x^3+8x^2-15x+4)e^{x^2} \]
と定めると，座標平面で曲線$y=h(x)$は$x$軸と$3$点で交わり，その交点の$x$座標は$-[ヒ]$，$\displaystyle\frac{[フ]}{[ヘ]}$，$[ホ]$である．また，
\[ h(x)=\frac{[マ]}{[ミ]} g_2(x)+[ム]g_1(x)-[メ]g_0(x) \]
であるから，曲線$y=h(x)$と$x$軸で囲まれた図形のうち$x$軸の下にある部分の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{1}{[モ]} \left( [ヤ]e-[ユ][ヨ] e^{\frac{[ラ]}{[リ]}} \right) \]
となる．
私立 聖マリアンナ医科大学 2012年 第1問空間内に，同じ平面上にない$4$つの点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{G}^\prime$とし，線分$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$なる定数である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の$[$1$]$から$[$10$]$に答えなさい．
このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}+[$3$] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{b}+[$6$] \overrightarrow{c}$である．また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=[$7$]$であり，線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$[$8$]:[$9$]$に内分する．さらに，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば，$|\overrightarrow{c}|=[$10$]$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は，実数$u,\ v,\ w$を用いて，
\[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \]
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．
このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$1$] \overrightarrow{a}+[$2$] \overrightarrow{b}+[$3$] \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{b}+[$6$] \overrightarrow{c}$である．また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=[$7$]$であり，線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$[$8$]:[$9$]$に内分する．さらに，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば，$|\overrightarrow{c}|=[$10$]$である．
なお，この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は，実数$u,\ v,\ w$を用いて，
\[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \]
の形に表すことができ，しかも，表し方はただ$1$通りである．
私立 聖マリアンナ医科大学 2012年 第3問関数$f(x)$は，
$\displaystyle (ⅰ) f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle (ⅱ) \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t (t>0)$
を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．
(1)この条件を満たす関数$f(x)$は
\[ f(x)=[$1$] \]
または
\[ f(x)=[$2$] \]
である．
(2)曲線$y=[$1$]$および曲線$y=[$2$]$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$[$1$]$，$[$2$]$は$(1)$で求めた関数とする．
(3)点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=[$1$]$および$y=[$2$]$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．
$\displaystyle (ⅰ) f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle (ⅱ) \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t (t>0)$
を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．
(1)この条件を満たす関数$f(x)$は
\[ f(x)=[$1$] \]
または
\[ f(x)=[$2$] \]
である．
(2)曲線$y=[$1$]$および曲線$y=[$2$]$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$[$1$]$，$[$2$]$は$(1)$で求めた関数とする．
(3)点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=[$1$]$および$y=[$2$]$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．
公立 高知工科大学 2012年 第4問$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．
(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．
(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．
公立 高知工科大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．
(1)$x^3-2x^2+7x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+c$が$x$についての恒等式であるとき，定数$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)方程式$|x|+3 |x-2|=x+1$を解け．
(3)平行四辺形OABCにおいて，辺AB上に点Dを
\[ \text{AD}:\text{DB}=2:1 \]
を満たすようにとり，BCの中点をEとする．直線ODと直線AEとの交点をFとするとき，線分の長さの比の値$\displaystyle \frac{\text{OF}}{\text{OD}},\ \frac{\text{AF}}{\text{AE}}$を求めよ．
(4)定数$a$を含む開区間で定義された関数$y=f(x)$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$の定義を書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数$f(x)=x^2$の$x=a$における微分系数$f^{\, \prime}(a)$を求めよ．