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私立 青山学院大学 2012年 第4問整式$f(x)$とその導関数$f^\prime(x)$が
\[ f(3)=19,\quad f^\prime(3)=10,\quad f(-1)=11 \]
を満たすとする．このとき，$f(x)$を$(x-3)^2(x+1)$で割った余りを求めよ．
\[ f(3)=19,\quad f^\prime(3)=10,\quad f(-1)=11 \]
を満たすとする．このとき，$f(x)$を$(x-3)^2(x+1)$で割った余りを求めよ．
私立 青山学院大学 2012年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}=1$および$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$が成り立つとする．
$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
$\mathrm{AB}=x$とすると，$x$のとり得る値の範囲は$\displaystyle [ケ]<x<\frac{[コ]}{[サ]}$であり，$\mathrm{BC}$を$x$を用いて表すと$\mathrm{BC}=\sqrt{[シ]-[ス]x}$である．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$f(x)$とおくと，その導関数は
\[ f^\prime(x)=\frac{1}{\sqrt{[シ]-[ス]x}} \left( \frac{[セ]}{[ソ]}-\frac{[タ]}{[チ]}x \right) \]
であるので，$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$のとき$f(x)$は最大となる．このとき$\displaystyle \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ト]}{[ナ]} \pi$である．
私立 広島工業大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3+(a-2)x^2+3x$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=-a$で極値をもつとき，$a$の値を求めよ．さらに，このときの極大値を求めよ．
私立 東北工業大学 2012年 第5問$f(x)=x^2-ax+36$とする．ただし，$a>0$とする．
(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．
(1)$a=[][]$のとき，$x$が$0$から$2$まで変化する場合の$f(x)$の平均変化率が$-16$となる．また，このとき$f^\prime(u)=0$を満たす値$u$に対して$f(u)=-[][]$となる．
(2)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=0$となる．
(3)$a=[][]$のとき，$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx=12a$となる．
(4)$y=f(x)$のグラフに対し，原点を通り，$x>0$の領域でこのグラフに接する接線$\ell$を引く．$a=[][]$のとき，$\ell$とこのグラフとの接点の$y$座標が$12$となる．
私立 成城大学 2012年 第3問座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第2問指数関数$y=2^x$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}(2,\ -5)$と$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ 2^x)$の中点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の描く軌跡$C^\prime$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と曲線$C^\prime$の交点の座標を求めよ．
私立 昭和薬科大学 2012年 第3問$2$次関数$f(x)=x^2+ax$（$a$は実数）に対し，$\displaystyle S(a)=\int_0^2 |f^\prime(x)| \, dx$で関数$S(a)$を定義する．
(1)$a=2$のとき，関数$y=|f^\prime(x)|$のグラフの概形を描きなさい．
(2)関数$S(a)$のグラフの概形を描きなさい．
(1)$a=2$のとき，関数$y=|f^\prime(x)|$のグラフの概形を描きなさい．
(2)関数$S(a)$のグラフの概形を描きなさい．
私立 法政大学 2012年 第5問次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．
(1)$\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$[ア]$だけ回転した点である．
ただし，$[ア]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ．
\[ \nagamaruichi -\theta \qquad \nagamaruni 0 \qquad \nagamarusan \theta \qquad \nagamarushi 2\theta \qquad \nagamarugo 3\theta \qquad \nagamaruroku \theta^2 \]
行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{[イ]}{[ウ]} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[エオ] \\
[カ]
\end{array} \right) \]
が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
14 \\
7
\end{array} \right) \]
で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
[キク]-\sqrt{[ケ]} \\
[コ] \sqrt{[サ]}-[シ]
\end{array} \right) \]
である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x-p \\
y-q
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
X-p \\
Y-q
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right) \]
が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ス]}$，$k=[セ]$である．
ただし，$[セ]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ $1$ \qquad $\nagamaruni$ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ $3$
$\nagamaruroku$ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ $6$
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．
(1)$\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$[ア]$だけ回転した点である．
ただし，$[ア]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ．
\[ \nagamaruichi -\theta \qquad \nagamaruni 0 \qquad \nagamarusan \theta \qquad \nagamarushi 2\theta \qquad \nagamarugo 3\theta \qquad \nagamaruroku \theta^2 \]
行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{[イ]}{[ウ]} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[エオ] \\
[カ]
\end{array} \right) \]
が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
14 \\
7
\end{array} \right) \]
で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
[キク]-\sqrt{[ケ]} \\
[コ] \sqrt{[サ]}-[シ]
\end{array} \right) \]
である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x-p \\
y-q
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
X-p \\
Y-q
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right) \]
が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ス]}$，$k=[セ]$である．
ただし，$[セ]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ $1$ \qquad $\nagamaruni$ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ $3$
$\nagamaruroku$ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ $6$
私立 大阪工業大学 2012年 第4問関数$f(x)=-2x^3+3x^2+12x-5$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=a$で極小となり，$x=b$で極大となるとする．$f(b)-f(a)$を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_a^b (f^\prime(x)+ab) \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=a$で極小となり，$x=b$で極大となるとする．$f(b)-f(a)$を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(4)定積分$\displaystyle \int_a^b (f^\prime(x)+ab) \, dx$を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第1問次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同じ記号を$2$度以上用いてもよい．
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}
$a,\ b,\ r,\ k$は$a>b>0$，$r>0$，$k>0$を満たす定数とする．
座標平面の相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が円$X^2+Y^2=r^2$の上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$の最大値は次のようにして求められる．まず，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を固定して点$\mathrm{A}$を動かすとき，その三角形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形のときである．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければよい．そこで，$\mathrm{A}(0,\ r)$，$\mathrm{B}(-r \cos \theta,\ r \sin \theta)$，$\mathrm{C}(r \cos \theta,\ r \sin \theta)$ $\displaystyle \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とすれば$S_1$の最大値は$\sin \theta=[ア]$のとき$S_1=[イ] r^2$であることがわかる．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$y$座標を$k$倍した点を$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$とおく．相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$，$\mathrm{C}(x_3,\ y_3)$としたとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて計算すると$[ウ]$と表される．したがって，点$\mathrm{A}^\prime(x_1,\ ky_1)$，$\mathrm{B}^\prime(x_2,\ ky_2)$，$\mathrm{C}^\prime(x_3,\ ky_3)$のなす三角形の面積を$S_2$とおくと，$S_2$は$S$の$[エ]$倍である．
点$\mathrm{P}(x,\ y)$は楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の上を動く点とする．$\displaystyle k=\frac{a}{b}$であるとき，点$\mathrm{P}^\prime(x,\ ky)$は原点を中心とする半径$[オ]$の円上を動く．したがって，相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が楕円$E$上を動くとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値は$a,\ b$を用いて$[カ]$と表される．
\begin{itemize}
ア，イの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua -\displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marub -\displaystyle\frac{1}{3} \phantom{AAA} & \maruc \displaystyle\frac{1}{3} & \marud \displaystyle\frac{1}{2} \phantom{AAA} & \marue \displaystyle\frac{16}{9} \\ \\
\maruf -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \marug -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} & \marui \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \\ \\
\maruk \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} & \marul \displaystyle\frac{2+\sqrt{3}}{4} & \marum \displaystyle\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{3} & &
\end{array} \]
ウの解答群
\mon[$\marua$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\marub$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)|$
\mon[$\maruc$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marud$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marue$] $\displaystyle |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\maruf$] $\displaystyle\frac{1}{2} |(x_2-x_1)(y_3-y_1)+(x_3-x_1)(y_2-y_1)|$
\mon[$\marug$] $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\}$
\mon[$\maruh$] $\displaystyle\frac{1}{2} \biggl[ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$\displaystyle -\{(x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)\} \biggr]$
エの解答群
\[ \marua \frac{1}{k^3} \quad \marub \frac{1}{k^2} \quad \maruc \frac{1}{k} \quad \marud \frac{2}{k} \quad \marue \frac{k}{2} \quad \maruf k \quad \marug k^2 \quad \maruh k^3 \]
オの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{a}{2} \phantom{AAA} & \marub \displaystyle\frac{a^2}{4} \phantom{AAA} & \maruc a \phantom{AAA} & \marud a^2 \phantom{AAA} & \marue ab \\
\maruf \displaystyle\frac{b}{2} & \marug \displaystyle\frac{b^2}{4} & \maruh b & \marui b^2 & \maruj (ab)^2 \phantom{\frac{{[ ]}^2}{2}}
\end{array} \]
カの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\marua \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}ab \phantom{AA} & \marub \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} ab \phantom{AA} & \maruc \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} ab \phantom{AA} & \marud \displaystyle\frac{16}{9}ab \phantom{AA} & \marue \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} ab \\ \\
\maruf \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{a^3}{b} & \marug \displaystyle\frac{8 \sqrt{2}}{9} \frac{a^3}{b} & \maruh \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b} & \marui \displaystyle\frac{16}{9} \frac{a^3}{b} & \maruj \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{4} \frac{a^3}{b}
\end{array} \]
\end{itemize}