$a,\ b$を実数とし，$a<b$とする．関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で，$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ．
(2)$y=h(x)$を，$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ．
(3)$a<c<b$とする．
\[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \]
を示せ．
(4)\[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \]
を示せ．

関数
\[ f(x)=\left( x+\frac{1}{2} \right) \log \left( 1+\frac{1}{x} \right) \quad (x>0) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f^{\prime}(x)$の値を求め，さらに$f^\prime(x)<0$であることを証明せよ．
(3)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

関数$f(x)=(x^2+\alpha x+\beta)e^{-x}$について，下の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は定数とする．

(1)$f^\prime(x)$および$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=1$で極値をとるための$\alpha,\ \beta$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が$x=1$で極値をとり，さらに点$(4,\ f(4))$が曲線$y=f(x)$の変曲点となるように$\alpha,\ \beta$の値を定め，関数$y=f(x)$の極値と，その曲線の変曲点をすべて求めよ．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され，条件
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$に対して，$xy$平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$C$の第$1$象限にある変曲点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)変曲点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle x=\tan \theta \ \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とおく．このとき，不定積分
\[ I=\int \frac{dx}{x^2+1} \]
を$\theta$を用いて表せ．なお，不定積分の計算においては積分定数を省略してもよい．
(5)曲線$C$と接線$\ell$および$y$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$xyz$空間内の$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}=(x,\ y,\ z)$を考え，$\displaystyle \overrightarrow{p^\prime}=\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}$とおく．

(1)$\overrightarrow{p^\prime}$の大きさを求めよ．
(2)$\overrightarrow{p}$と$x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とおくとき，$\overrightarrow{p^\prime}=(\cos \alpha,\ \cos \beta,\ \cos \gamma)$を示せ．
(3)$\overrightarrow{p}=(3,\ 4,\ 12)$とする．頂点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき，$xy$平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}^\prime(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(b_1,\ b_2,\ 0)$が作る$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の面積を$S$を用いて表せ．

正の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \left( \frac{x^{2k-1}}{2k-1} +\frac{x^{2k}}{2k} \right)$を考える．

(1)導関数$f_n^\prime(x)$を求めよ．ただし和の記号$\displaystyle \sum$を用いずに表せ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}f_n(1)$を求めよ．

関数$f(x)=ax^3-(a+3)x+a+3$について，次の問いに答えよ．ただし$a$は$0$でない実数とする．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$x$の方程式$f^\prime(x)=0$が実数解をもつような$a$の範囲を求め，またそのときの実数解をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．