行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 1)$，$\mathrm{Q}(2,\ 2)$は連立不等式$1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2$の表す領域内の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．
(2)$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{R}(a,\ c)$，$\mathrm{S}(a+b,\ c+d)$，$\mathrm{T}(b,\ d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
\[ A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) = p \biggl( \begin{array}{c}
b \\
-c
\end{array} \biggr) \]
(3)自然数$n$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \biggr) = A^n \biggl( \begin{array}{cc}
1 & b \\
1 & -c
\end{array} \biggr) \]
で定める．このとき$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を$b,\ c,\ n$および(2)の$p$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A^3=\frac{1}{27} \biggl( \begin{array}{cc}
14 & 13 \\
13 & 14
\end{array} \biggr)$となるように$A$を定めよ．

実数$a$は$a>-1$とする．関数$f(x)=3x^3-7x^2+5x-1$に対し，
\[ -1<c<a,\ \frac{f(a)-f(-1)}{a+1}=f^{\, \prime}(c) \]
となる$c$がちょうど2つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T$は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換であることを示せ．
(2)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の2倍となる$c$の値を求めよ．
(3)$c=2$とする．楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．$E$が$E^\prime$の内部にあることを示し，$E^\prime$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$が連続で，ある$a<b$に対して，$f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$を満たしているものとする．このとき
\[ f(b)-f(a)=\int_a^b \left( \frac{a+b}{2}-x \right) f^{\prime\prime}(x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線道路上における車の走行を考える．ある信号で停止していた車が，時刻0で発進後，距離$L$だけ離れた次の信号に時刻$T$で到達し再び停止した．この間にこの車の加速度の絶対値が$\displaystyle \frac{4L}{T^2}$以上である瞬間があることを示せ．

2つの関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^t(\sin t+\cos t)\, dt$と$\displaystyle g(x)=\int_0^x e^t(\cos t-\sin t) \, dt$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．

(3)$n \geqq 2$のとき， $f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．
(4)$\{f^{(n)}(x)\}^2+\{g^{(n)}(x)\}^2$を求めよ．
(5)実数$a$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2a}}{\{f^{(n)}(a)\}^2+\{g^{(n)}(a)\}^2}$の和を求めよ．

実数$c$に対して，行列
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -c \\
c & 1
\end{array} \biggr) \]
で表される1次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の同一直線上にない3点P，Q，Rが$T$によってそれぞれP$^\prime$，Q$^\prime$，R$^\prime$に移るとする．三角形P$^\prime$Q$^\prime$R$^\prime$の面積が三角形PQRの面積の$k$倍($k \geqq 1$)となる$c$の値を求めよ．
(2)楕円
\[ E:\frac{x^2}{4}+y^2=1 \]
上の点が$T$によって楕円$E^\prime$上の点に移るとする．楕円$E^\prime$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．

座標平面に点$\mathrm{E}(1,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 1)$，$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 11)$がある．さらに点$\mathrm{E}^\prime$は第1象限にあり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OE}^\prime \mathrm{F}^\prime$は角$\mathrm{E}^\prime$が直角の二等辺三角形である．

(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．

$0$以上の整数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}$とおく．ただし，$0!=1$とし，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ．

$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．

(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

$a$を正の実数とする．$t$を媒介変数として
\[ x(t)=\cos 2t,\ y(t)=\sin at \quad (-\pi \leqq t \leqq \pi) \]
で表される曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)$a=1$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(2)$a=2$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(3)定積分
\[ \int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt \]
の値を，$a \neq 2$と$a=2$のそれぞれの場合について求めよ．
(4)(3)で求めた定積分の値を$a$の関数と考えて$\displaystyle P(a)=\int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to 2}P(a)$の値を求めよ．