以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

$f(x)$を変数$x$の$2$次関数，$F(x)$を$f(x)$の原始関数とする（つまり$F^\prime(x)=f(x)$である）．また$f(x)$と$F(x)$は次の関係を満たすとする．
\[ 3xF(x)-f(x)^2=x^3-7x^2-12x-9 \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の値が最小となる実数$a$と，そのときの定積分の値を求めなさい．

次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

\mon[(p)] 正$n$角形の頂点から$3$点を選んで内角の$1$つが$60^\circ$である三角形を作ることができるならば，$n$は$3$の倍数である．
\mon[(q)] $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{BC}=\mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$，$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^\prime$ならば，これら$2$つの三角形は合同である．

定数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，平面上の点$(p,\ q)$を点$(ap+bq,\ cp+dq)$に移す操作を考える．ただし，$(a,\ b,\ c,\ d) \neq (1,\ 0,\ 0,\ 1)$である．$k$を0でない定数とする．放物線$C:y=x^2-x+k$上のすべての点は，この操作によって$C$上に移る．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)$C$上の点Aにおける$C$の接線と，点Aをこの操作によって移した点A$^\prime$における$C$の接線は，原点で直交する．このときの$k$の値および点Aの座標をすべて求めよ．

$f_0(x)=xe^x$として，正の整数$n$に対して，
\[ f_n(x) = \int_{-x}^{x} f_{n-1}(t)\, dt + f^{\; \prime}_{n-1}(x) \]
により実数$x$の関数$f_n(x)$を定める．

(1)$f_1(x)$を求めよ．
(2)$g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x (at+b)e^t \, dt$とするとき，定積分$\displaystyle \int_{-c}^c g(x)\, dx$を求めよ．ただし，実数$a,\ b,\ c$は定数とする．
(3)正の整数$n$に対して，$f_{2n}(x)$を求めよ．

$a>0$とし，関数
\[ f(x) = e^{-ax} \sin (\sqrt{3}ax) \]
は
\[ f^{\ \prime\prime}(x) + f^{\ \prime}(x) +f(x) = 0 \]
を満たすとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$x>0$において$f(x)$が極大となる$x$を小さい方から$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．$x_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$x_n$に対し，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(x_n)$を求めよ．

下記の設問に答えなさい．

(1)$a$を定数とする．次の関数$f(x)$の導関数$f^{\ \prime}(x)$を求めなさい．
\[ f(x) = \int_a^x (t^2+a^2t)\, dt + \int_0^a (t^2+ax)\, dt \]
(2)次の関係式をみたす定数$a$および関数$g(x)$を求めなさい．
\[ \int_a^x (g(t)+tg(a))\, dt = x^2-2x-3 \]

自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．

(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

$x>0$に対して$\displaystyle f(x) =\int_x^{x+1} \log t \, dt$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log x = 0$を使ってよい．

(1)$f(x)$と$f^\prime (x)$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．直線$y = k(x+1)$と曲線$C$が共有点をもつための条件を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．

(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．