空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．

(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．

関数$\displaystyle y=e^{-\frac{x^2}{2}}$について以下の問いに答えなさい．

(1)$y^\prime$および$y^{\prime\prime}$を求めなさい．
(2)極値を求めなさい．また変曲点の座標も求めなさい．
(3)$\displaystyle y=e^{-\frac{x^2}{2}}$のグラフをかきなさい．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $y=\sqrt{2-x^3}$
(ii) $y=x^2 \cos (\sqrt{2}x)$
(iii) $\displaystyle y=\frac{e^x-2}{e^x+2}$

(2)次の不定積分，定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int \frac{x^2}{2-x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \sqrt[3]{x^5+x^3} \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 (1-x) \cos (\pi x) \, dx$

$a>1$を満たす定数$a$に対し，座標が$(a,\ a)$である点を$\mathrm{A}$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$のグラフ上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$をとり，$t>0$で定義された関数$f(t)$を，長さ$\mathrm{AP}$を用いて$f(t)=\mathrm{AP}^2$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$f^\prime(t)=0$となる$t (t>0)$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．

$a \neq c$とする．座標平面上で，焦点$\mathrm{F}(0,\ c)$と準線$y=a$とから等距離にある点$(x,\ y)$の軌跡は放物線であり，その式を$x^2=4p(y-q)$とおくとき，$\displaystyle q=\frac{a+c}{2}$となる．以下の問に答えなさい．

(1)この放物線と直線$y=c$の交点は，焦点$\mathrm{F}$と準線$y=a$とから等距離にあることに着目して，$p$を$a$と$c$の式で表しなさい．
(2)$a>c>b$とする．焦点$\mathrm{F}$，準線$y=a$の放物線を$L$で表し，焦点$\mathrm{F}$，準線$y=b$の放物線を$L^\prime$で表す．$L$と$L^\prime$の交点$\mathrm{T}$の$y$座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた交点$\mathrm{T}$における$L$の接線と$L^\prime$の接線は，直交することを示しなさい．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xyz$空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OPQR}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り$z$軸に平行な$3$直線と$xy$平面との交点をそれぞれ$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$，$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積をそれぞれ$S$，$S_1$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の$3$点を通る平面と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$S_1=S |\cos \theta|$を示せ．
(2)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の周上を含む内部にあるとき，$z$軸と$\triangle \mathrm{PQR}$の交点を$\mathrm{A}$とする．このとき正四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$は$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{OA} \cdot S_1$となることを示し，$S_1$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$が$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の外部にあり，線分$\mathrm{OP}^\prime$と線分$\mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が交点$\mathrm{B}$をもつとき，点$\mathrm{B}$を通り$z$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$および直線$\mathrm{QR}$との交点をそれぞれ$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき四角形$\mathrm{OQ}^\prime \mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime$の面積を$S_2$とすると$\displaystyle V=\frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot S_2$となることを示し，$S_2$の最大値を求めよ．

$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=e^{-2x^3}$，$g(x)=xe^{-x^3}$について，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=0$は証明なしに用いてよい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=g(x)$の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)$a \geqq 0$とし，曲線$y=g(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=a+1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}e^{2a^3}V(a)$を求めよ．

$a,\ b,\ c$は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ \sqrt{x(a+x)}-a \log (\sqrt{x}+\sqrt{x+a}) \]
の導関数を求めよ．
(2)部分積分を用いて
\[ \int \sqrt{x(bx+c)} \, dx=\frac{1}{2}x \sqrt{x(bx+c)}+\frac{c}{4} \int \sqrt{\frac{x}{bx+c}} \, dx \quad (x>0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \sqrt{x(2x+1)} \, dx (x>0)$を求めよ．

$a$を正の定数とする．$n$を$0$以上の整数とし，多項式$P_n(x)$を$n$階微分を用いて
\[ P_n(x)=\frac{d^n}{dx^n}(x^2-a^2)^n \quad (n \geqq 1),\quad P_0(x)=1 \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$n=2$および$n=3$に対して
\[ P_2(-a),\quad P_3(-a) \]
を求めよ．
(2)$u=u(x)$，$v=v(x)$を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bf ライプニッツの公式}
\[ (uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v^\prime+\cdots +\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots +\comb{n}{n-1}u^\prime v^{(n-1)}+\comb{n}{n}uv^{(n)} \]
を数学的帰納法を用いて証明せよ（ただし，$n \geqq 1$）．ここで，$w^{(k)}$は$w=w(x)$の第$k$次導関数を表し，また$w^{(0)}=w$とする．
(3)一般の$n$に対して
\[ P_n(-a),\quad P_n(a) \]
を求めよ．