以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (x+1)}{\log x} (x>1)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．

(2)次の不等式を証明せよ．
\[ \log_32<\log_43<\log_54<\log_65<\log_76<\log_87<\log_98<\log_{10}9 \]

関数$f(x)$を$f(x)=(2x-1)^2 e^{\frac{1}{x}}$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$y=e^{\frac{1}{x}}$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)$を調べよ．
(4)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

関数$f(x)$を$f(x)=(x-1)e^{-(x-1)^2}$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値と，$f^{\prime\prime}(x)=0$となる$x$の値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=0$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$は用いてよい．

方程式$2x^3+x^2-2xy+3y^2+y^3=6$で定められる$x$の関数$y$の導関数は，
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{[　]x^2+[　]x-[　]y}{[　]x-[　]y-[　]y^2} \]
である．

$3$次関数$f(x)=x^3+2kx^2-kx+1$について，以下の問に答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつときの$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極値を与える$x$の値を$\alpha,\ \beta$とおく．このとき，$\alpha\beta$，$\alpha+\beta$，$\alpha^2+\beta^2$，$\alpha^3+\beta^3$の値を求めよ．ただし，$\alpha>\beta$とする．
(4)$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき，極大値と極小値の和を$k$を用いて表せ．

$\displaystyle f(x)=\int_0^x (x-t)^2 (\sin t+\cos t) \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)=[$22$]$，$f^{\prime\prime}(x)=[$23$]$となる．また，$f(\pi)=[$24$]$である．

放物線$y={(x-1)}^2$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ {(a-1)}^2)$，$\mathrm{B}(b,\ {(b-1)}^2)$における$2$つの接線を，それぞれ，$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．また，点$\mathrm{A}$を通り$\ell_1$と直交する直線を${\ell_1}^\prime$，点$\mathrm{B}$を通り$\ell_2$と直交する直線を${\ell_2}^\prime$とする．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a,\ b$を使って表すと，$([　],\ [　])$である．
(2)この放物線と$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を$a,\ b$を使って表すと，$[　]$である．
(3)${\ell_1}^\prime$と${\ell_2}^\prime$が直交するとき，$(2)$で求めた$S$の最小値は$[　]$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$となり，$\ell_1$，${\ell_1}^\prime$，$\ell_2$，${\ell_2}^\prime$の$4$つの直線で囲まれた部分の面積は$[　]$となる．

関数$\displaystyle f_n(x)=\frac{1}{x(1+x)^n} (-1<x<0)$とおく．ただし，$n$は正の整数とし，$C$は積分定数とする．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)=[ア]$である．
(2)関数$f_n(x)$は$x=[イ]$において極値をとる．

(3)$\displaystyle \int f_1(x) \, dx=[ウ]+C$である．

(4)$\displaystyle \int f_{n+1}(x) \, dx-\int f_n(x) \, dx=[エ]+C$である．

(5)$\displaystyle \int f_3(x) \, dx=[オ]+C$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$について，以下の問に答えなさい．ただし$a,\ b$は実数の定数とする．

(1)$3f(x)-xf^\prime(x)=2x+3$がすべての$x$の値について成り立つとき，$a=[ホ]$，$b=[マ]$である．

(2)$f(x)$が$2x^2-x-1$で割り切れるとき，$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$，$\displaystyle b=\frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)$f(x)=0$の$1$つの解が$x=1+2i$であるとき$\displaystyle a=\frac{[ヤ]}{[ユ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヨ][ラ]}{[リ]}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

媒介変数表示$\left\{ \begin{array}{l}
x=\theta-\sin \theta \\
y=\cos \theta
\end{array} \right. (0<\theta<2\pi)$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$\theta$の関数で表せ．
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．