「導関数」について
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国立 三重大学 2013年 第4問$e$で自然対数の底を表す．関数$f(x)$を
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
\[ f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+e}) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を微分せよ．また$f^\prime(x)$が偶関数であることを示せ．
(2)定積分
\[ \int_{-1}^1 f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \]
を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_{-1}^1 x^{2n} f(x) \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$n$を$2$以上とするとき，$a_n$と$a_{n-1}$の間に成り立つ関係式を求めよ．
国立 大分大学 2013年 第4問$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$k>0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$f(0)=9$，$f(-1)=16$をみたす．また，関数$f(x)$について，$x$に関する恒等式
\[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \]
が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)$k$の値を求めなさい．
\[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \]
が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)$k$の値を求めなさい．
国立 九州工業大学 2013年 第2問関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．
国立 筑波大学 2013年 第6問楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$の，直線$y=mx$と平行な$2$接線を$\ell_1$，$\ell_1^\prime$とし，$\ell_1$，$\ell_1^\prime$に直交する$C$の$2$接線を$\ell_2$，$\ell_2^\prime$とする．
(1)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_1^\prime$の距離$d_1$および$\ell_2$と$\ell_2^\prime$の距離$d_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．ただし，平行な$2$直線$\ell$，$\ell^\prime$の距離とは，$\ell$上の$1$点と直線$\ell^\prime$の距離である．
(3)$(d_1)^2+(d_2)^2$は$m$によらず一定であることを示せ．
(4)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$，$\ell_2$，$\ell_2^\prime$で囲まれる長方形の面積$S$を$d_1$を用いて表せ．さらに$m$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
(1)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$の方程式を$m$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_1^\prime$の距離$d_1$および$\ell_2$と$\ell_2^\prime$の距離$d_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．ただし，平行な$2$直線$\ell$，$\ell^\prime$の距離とは，$\ell$上の$1$点と直線$\ell^\prime$の距離である．
(3)$(d_1)^2+(d_2)^2$は$m$によらず一定であることを示せ．
(4)$\ell_1$，$\ell_1^\prime$，$\ell_2$，$\ell_2^\prime$で囲まれる長方形の面積$S$を$d_1$を用いて表せ．さらに$m$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．
国立 山形大学 2013年 第3問$R,\ r$を正の実数とし，$2r<R \leqq 3r$とする．右図のように，原点 \\
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{72_2151_2013_1}{60}
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
$\mathrm{O}$を中心とする半径$R$の固定された円$S$の内部に点$\mathrm{O}^\prime$を中心と \\
する半径$r$の円$T$があり，円$T$は円$S$に接しながらすべらずに \\
転がるものとする．ただし，点$\mathrm{O}^\prime$は点$\mathrm{O}$のまわりを反時計まわり \\
に動くものとする．はじめに点$\mathrm{O}^\prime$は$(R-r,\ 0)$の位置にあり， \\
円$T$上の点$\mathrm{P}$は$(R,\ 0)$の位置にあるとする．$x$軸の正の部分と \\
動径$\mathrm{OO}^\prime$のなす角が$\theta$ラジアンのとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問に答えよ．
\img{72_2151_2013_1}{60}
(1)$x(\theta),\ y(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{2r}{R} \cdot \frac{3}{2}\pi$において，$x(\theta)$が最小となるときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$R=3,\ r=1$とする．$\theta>0$で点$\mathrm{P}$がはじめて$x$軸に到達したときの角$\theta_0$を求めよ．また，$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$のとき，$y(\theta) \geqq 0$を示せ．
(4)$R=3,\ r=1$とする．$0 \leqq \theta \leqq \theta_0$における点$\mathrm{P}$の軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 東京農工大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．
(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．
(1)$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(ii) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする．
(i) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて，$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ．
(ii) $2$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和を$N$とする．このとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする．$T$の期待値を求めよ．
国立 岐阜大学 2013年 第4問正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第2問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2013年 第4問行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である
(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．
私立 東北学院大学 2013年 第4問関数$f(x)=x^2e^{-x}$について以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めグラフの概形を描け（変曲点は求めなくてよい）．
(3)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．