「導関数」について
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国立 熊本大学 2013年 第3問半径$1$，中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第3問半径$1$，中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
(1)$f(\theta)$を求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し，$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ．
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第4問関数
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
\[ c(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x}),\quad s(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x}),\quad t(x)=\frac{s(x)}{c(x)} \]
に対して，次の問いに答えよ．
(1)$\{c(x)\}^2-\{s(x)\}^2$を計算せよ．
(2)導関数$c^\prime(x),\ s^\prime(x),\ t^\prime(x)$を，それぞれ$c(x)$または$s(x)$を用いて表せ．
(3)$t(\log \sqrt{2})$と$t(\log \sqrt{3})$の値を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}}t(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{\log \sqrt{2}}^{\log \sqrt{3}} \{t(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
国立 静岡大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}$に対して，曲線$y=f(x)$を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$と$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$，および，$f^{\prime\prime}(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)曲線$C$の概形をかけ．
(3)曲線$C$について，傾きが$2$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$，(3)で求めた接線$\ell$，直線$x=\log \sqrt{2}$によって囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(5)(4)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 富山大学 2013年 第2問$f(x)=(1-x)^3$とし，曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線の方程式を$y=p(x)$，点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を$y=q_t(x)$とする．さらに，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\int_0^t p(x) \, dx+\int_t^1 q_t(x) \, dx \]
と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$F(t)$を求めよ．
(2)$F^\prime(0)$，$F^\prime(1)$の値を求めよ．
(3)$F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ．
\[ F(t)=\int_0^t p(x) \, dx+\int_t^1 q_t(x) \, dx \]
と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$F(t)$を求めよ．
(2)$F^\prime(0)$，$F^\prime(1)$の値を求めよ．
(3)$F(t)$を最大にする$t$の値がただ$1$つ定まることを示せ．
国立 富山大学 2013年 第2問定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k,\ x$について
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2)$x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3)$g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4)$f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5)$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2)$x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3)$g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4)$f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5)$f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．
国立 愛知教育大学 2013年 第8問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．
(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている．
(1)時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は，ある$2 \times 2$行列$A$によって
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime(t) \\
y^\prime(t)
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
と表すことができる．この行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく．このとき，$n \geqq 1$に対し，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^{(n)}(t) \\
y^{(n)}(t)
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right) \]
となることを，数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ．
国立 浜松医科大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\log x+\frac{1}{x}$と曲線$C:y=f(x) \ (x>0)$について，以下の問いに答えよ．なお，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0$を用いてもよい．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
以下$a$は$1$より大きい実数とし，点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする．
(3)接線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$a \neq 2$のとき，曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点（接点と交点）をもつことを示せ．
(4)$a=2$とする．曲線$C$，接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$と不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$をそれぞれ求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
以下$a$は$1$より大きい実数とし，点$(a,\ f(a))$における$C$の接線を$\ell(a)$とする．
(3)接線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$a \neq 2$のとき，曲線$C$と接線$\ell(a)$は$2$個の共有点（接点と交点）をもつことを示せ．
(4)$a=2$とする．曲線$C$，接線$\ell(2)$と$2$直線$x=1,\ x=4$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2013年 第3問空間内の点$\mathrm{P}(1,\ -1,\ -2)$を出発して，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$で向きを変えてもとの点$\mathrm{P}$に戻る折れ線$\mathrm{PQRSP}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(-2,\ 4,\ 5)$，$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=(-3,\ -4,\ -2)$となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}^\prime$，$\mathrm{S}^\prime$を，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の$x,\ y$座標を取り出して得られる点とする．例えば，点$\mathrm{P}^\prime$の座標は$(1,\ -1)$となる．このとき，平面上の線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$と線分$\mathrm{R}^\prime \mathrm{S}^\prime$の交点$\mathrm{M}^\prime$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$上の点$\mathrm{M}_1$と線分$\mathrm{RS}$上の点$\mathrm{M}_2$を，$\mathrm{M}_1$の$x,\ y$座標が$\mathrm{M}_2$の$x,\ y$座標とそれぞれ等しくなる点とする．$2$点$\mathrm{M}_1$，$\mathrm{M}_2$間の距離を求めよ．
(4)空間内の点$\mathrm{X}$が，点$\mathrm{Q}$を出発して点$\mathrm{P}$まで，$\mathrm{Q} \to \mathrm{R} \to \mathrm{S} \to \mathrm{P}$の順に折れ線上を動く．点$\mathrm{X}$から直線$\mathrm{PQ}$上に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と同じ向きに動いた距離の総和と，逆の向きに動いた距離の総和を，それぞれ求めよ．
国立 高知大学 2013年 第4問関数$f(x)=x^3e^{-9x}$と実数$a$に対して，次の問いに答えよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で，$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{5}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{5}{3}\pi$の範囲で，$f(\cos \theta)=a$をみたす実数$\theta$がちょうど$6$個存在するような$a$の範囲を求めよ．