ある開区間$D$で与えられた関数$f(x)$は，$2$階微分可能で，第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は連続で，更に$f^{\prime\prime}(x)<0$と仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)$a_1<a_2<a_3$を満たす$D$の$a_1,\ a_2,\ a_3$に対して
\[ \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>\frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2} \]
を示せ．
(2)$x_1,\ x_2$を$D$の実数とする．$0 \leqq \alpha \leqq 1$を満たす$\alpha$に対して
\[ f(\alpha x_1+(1-\alpha)x_2) \geqq \alpha f(x_1)+(1-\alpha) f(x_2) \]
を示せ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_3$を$D$の実数とする．$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3 \geqq 0$及び$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1$を満たす$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$に対して
\[ f(\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\alpha_3 x_3) \geqq \alpha_1 f(x_1)+\alpha_2 f(x_2)+\alpha_3 f(x_3) \]
を示せ．
(4)$D=(0,\ \infty)$とする．上の議論を用いて，$D$の$x_1,\ x_2,\ x_3$に対して不等式
\[ \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geqq \sqrt[3]{x_1x_2x_3} \]
を示せ．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とする．関数$f(x)=(x-2)^3-3(x-2)+2$の$0 \leqq x \leqq a$における最大値を$M$とする．このとき次の問いに答えなさい．

(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$の値，およびそのときの$f(x)$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(3)$M$を$a$を用いて表わしなさい．

関数$f(x)=e^{ax} \ (a>0)$と次の条件(ア)，(イ)を満たす関数$g(x)$がある．

\mon[(ア)] $y=g(x)$のグラフは半円
\[ \left\{
\begin{array}{l}
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2 \\
y<q
\end{array}
\right. \]
である．ただし，$p<0,\ q>0,\ r>|p|$とする．
\mon[(イ)] $f(0)=g(0),\ f^\prime(0)=g^\prime(0),\ f^{\prime\prime}(0)=g^{\prime\prime}(0)$

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき，$r$を最小にする$a$の値を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

三角関数の極限に関する公式
\[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\]
を示すことにより，$\sin x$の導関数が$\cos x$であることを証明せよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$x,\ y$に対して
\[ f(x)f(y)-f(x+y)=\sin x \sin y \]
を満たし，さらに$f^\prime(0)=0$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{f(x)}$を求めよ．

$f(x)=x \sin x$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$f^\prime(x)<\displaystyle\frac{5}{2}$を示せ．

$f(x)$を$x=-1$で極大，$x=2$で極小となる$3$次関数で
\[ \int_0^2 f^\prime(x) \, dx=-5 \]
を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差を求めよ．