行列$\left( \begin{array}{cc}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{array} \right)$で表される移動によって点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{A}^\prime$に，点$\mathrm{B}$は点$\mathrm{B}^\prime$に移るとする．$\mathrm{O}$を原点とする．$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{A}=\mathrm{A}^\prime$であって，かつ四角形$\mathrm{OAB}^\prime \mathrm{B}$が長方形のとき，点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．

次の問いに答えよ．

(1)次の関数の導関数を求めよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$

(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$

(2)次の不定積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$

(3)$x>0$とする．無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+(\pi-2x) \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$，$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ．
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(4)曲線$y=f(x)$，$x$軸，$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+4}$について，以下の設問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle f(x)>-\frac{1}{2}$を解け．
(2)関数$f(x)$の導関数を求めよ．
(3)関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(4)$a>0$とする．$x \geqq 0$において，曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a) \geqq 2$となる$a$の値の範囲を求めよ．

$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha>0$として，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する（$a>s>0$）．

次の各問いに答えよ．

(1)関数$\tan x$の導関数を求めよ．

(2)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle X=\cos \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right)$とおくとき，$1+\sin x$を$X$を用いて表せ．

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{1+\sin x}$を求めよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin x} \, dx$の値を求めよ．

$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$とし，$\displaystyle g(x)=\sum_{k=1}^3 \frac{f(x) \cdot b_k}{f^\prime(a_k) \cdot (x-a_k)}$とする．$g(x)$を$px^2+qx+r$の形で表したときの$p,\ q,\ r$の値を求めよ．ただし，$a_1=1$，$a_2=-2$，$a_3=-1$，$b_1=12$，$b_2=3$，$b_3=4$とする．

$x \geqq 0$で定義される関数$f(x)=xe^{\frac{x}{2}}$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数を$f^\prime(x)$，第$2$次導関数を$f^{\prime\prime}(x)$とする．$f^\prime(2)$，$f^{\prime\prime}(2)$を求めよ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$，$g(x)$の第$1$次導関数を$g^\prime(x)$，第$2$次導関数を$g^{\prime\prime}(x)$とする．$g^\prime(2e)$，$g^{\prime\prime}(2e)$を求めよ．