$a$を実数とし
\[ f(x)=\int_1^x (t-a)(t-x) \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(3)$f(x)$の極値を$a$の範囲によって分けて求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\cos x-\frac{2}{3} \cos^3 x (0 \leqq x \leqq \pi)$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$F=2 \sin \theta (\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta)$は
\[ \begin{array}{rcl}
F &=& [ア]-\sqrt{3} \sin 2\theta-\cos 2\theta \\
&=& [ア]-[イ] \sin \left( 2\theta+\frac{[ウ]}{[エ]} \pi \right)
\end{array} \]
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[ウ]}{[エ]} \pi <2\pi$とする．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき，最大値$[キ]$をとる．
(2)$a$を正の定数とし，$f(x)=2x^3-ax^2+27$とする．$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]ax \]
であり，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[コ]}{[サ]}a$のとき，極小値$\displaystyle 27-\frac{[シ]}{[スセ]} a^{[ソ]}$をとる．どのような正の数$x$に対しても不等式$2x^3+27>ax^2$が成り立つような$a$の値の範囲は$0<a<[タ]$である．

$a$を定数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=7x+\int_1^x (at+5) \, dt$，$f^\prime(1)=4$で定める．

(1)$f(1)=[シ]$である．
(2)$a=[スセ]$である．
(3)$f(x)=[ソタ]x^2+[チツ]x-[テ]$である．
(4)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]}$で最大値$[ニ]$をとる．

次の問いに答えなさい．

(1)次の連立不等式を解きなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+2x>1 \\
|x-1| \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sin \frac{n\pi}{2}=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2^2} \sin \frac{2\pi}{2}+\frac{1}{2^3} \sin \frac{3\pi}{2}+\cdots \]
の和を求めなさい．
(3)関数$f(x)=e^x \cos x$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．また，実数$\alpha,\ \beta$を使って，$f^\prime(x)=\alpha e^x \cos (x+\beta)$の形に表しなさい．ただし，$\alpha>0$，$0 \leqq \beta<2\pi$とする．

方程式$x^4-6x^2-4y^2+8y+5=0$で表される曲線$C$について，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)曲線$C$で囲まれる部分の周囲の長さを求めよ．なお，曲線$y=f(x) (a \leqq x \leqq b)$の長さは次の積分で求められることを使ってよい．
\[ \int_a^b \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx \]

関数$\displaystyle F(x)=\int_0^{2x} (x-t) \cos 3t \, dt$を考える．

(1)$\displaystyle F^\prime(x)=\frac{[ク]}{[ケ]} \sin [コ]x-[サ] x \cos [シ]x$より$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{6} \right)=\frac{[ス]}{[セ]}$である．
(2)$\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=[ソタ] x \sin [チ] x$より$\displaystyle F^{\prime\prime} \left( \frac{\pi}{6} \right)=[ツ]$である．

次の$[　]$を適当に補え．

(1)$ab(a+b)-2bc(b-c)+ca(2c-a)-3abc$を因数分解すると$[ア]$となる．
(2)自然数$n$をいくつかの$1$と$2$の和で表すときの表し方の総数を$a(n)$とする．ただし，和の順序を変えた表し方は同じ表し方とする．例えば，$4=2+2$，$4=2+1+1$，$4=1+1+1+1$であるから，$a(4)=3$である．このとき，$a(9)=[イ]$，$a(2014)=[ウ]$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$\displaystyle S_n=\frac{n}{n+1}$であるとき，$a_n=[エ]$，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}=[オ]$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta+\cos \theta=t$とすると，$t$のとりうる値の範囲は$[カ] \leqq t \leqq [キ]$であり，$\sin \theta+\cos \theta+2 \sin 2\theta$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．
(5)$\log_2 64=[コ]$である．また，$x$を$1$でない正の数とするとき，$\log_4 x^2-\log_x 64 \leqq 1$をみたす$x$の範囲は$[サ]$である．
(6)$f(x)=\sin 2x$とするとき，$f^\prime(x)=[シ]$である．また，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 2x \cos 2x \, dx=[ス]$である．

$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると，
\[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \]
が成り立つことを示せ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．